Quantos homomorfismos existem?


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3 months ago by
Boa noite galera!

Estive revendo minhas anotações em aula e me deparei com a seguinte dúvida: por que é importante saber quem são os subgrupos normais de um grupo para determinar os números de isomorfismos existentes desse grupo com sua imagem???

Na passagem em questão, o professor passou um exemplo de um morfismo qualquer de S3 em um grupo G qualquer e analisou os casos de possiveis Núcleos, mas não entendi muito bem...

Se puderem me ajudar, eu agradeço =)
Community: ALGEBRA I -2018

2 Answers


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3 months ago by
O kernel de um isomorfismo é sempre normal. Então, se você sabe os subgrupos normais, você sabe os possíveis morfismos; se você sabe os morfismos, você sabe os subgrupos normais correspondentes.

Usando teorema da correspondência (e as vezes outras coisinhas) dá até pra descobrir mais coisas relacionando esses dois 'elementos'.
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Valeu Estevão!

Mas me responde uma coisa, isso q vc disse, não teria como consequência dizer que um morfismo fica completamente determinado pelos seus subgrupos normais? Quero dizer, não é possível construir dois morfismos diferentes considerando um mesmo Kernel (subgrupo normal já definido)?
written 3 months ago by Lucas Destro  
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Então, não sei se fica completamente determinado. Mas certamente morfismos diferentes podem ter o mesmo kernel (procure exemplo de dois morfismos injetores diferentes, eles tem o mesmo kernel = {e})
written 3 months ago by Estevão Lobo  
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3 months ago by
Entendi, mas se, certamente, existem morfismos diferentes com mesmo Kernel, tomar o número de subgrupos normais como parâmetro pode nos determinar apenas um número mínimo da quantidade de morfismos, não a quantidade em si, afinal podem ter vários! Ou estou errado? Oq vc acha?
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De fato, pode ter vários sim. Mas dá pra afirmar mais coisa que eu não falei, eu acho.

Tipo, é claro que todo subgrupo normal \(H\) é kernel do morfismo \(\phi: G \longrightarrow \frac{G}{H}, \phi(n) = nH\), então isso já deixa de ser só uma possibilidade...

written 3 months ago by Estevão Lobo  
Mas essa é uma possibilidade única apenas pro Kernel... O que garante a unicidade do morfismo para com todos os outros elementos restantes? Mas entende minha preocupação com a "contagem" do número de morfismos?
written 3 months ago by Lucas Destro  
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