Questão 18 - Lista 3


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3 months ago by

Alguém poderia me dar uma diga de como fazer a questão 18, parte (a)? (Acredito que a partir dessa, fica fácil fazer a parte b)
Community: ALGEBRA I -2018
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Gente, usando as dicas de vocês consegui chegar no seguinte:
Como N é normal em G, então G age em N por conjugação, e isso nos dá um mapa f: G -> Aut(N). Como |N| é primo, então N é cíclico e Aut(N)≅(Z/5Z)×, onde (Z/5Z)× tem 4 elementos.
Como a ordem de G é ímpar, então a imagem de f também tem ordem ímpar, que deve ser o subgrupo trivial já que 1 é o único divisor ímpar de 5, logo N$\le$ Z(G).
Se puderem me ajudar a confirmar o que eu fiz, agradeço =)
written 3 months ago by Natália Porta  
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Natália, como você concluiu que a imagem de \(f\) tem ordem ímpar? Porque a imagem de \(f\) é um subgrupo de \(Aut(N)\), mas \(Aut(N)\) tem ordem par.

written 3 months ago by Estevão Lobo  
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Estevão, acho que o que ela quis dizer (ou deveria ser) é que dado um elemento em $G$, a imagem dele por $f$  deverá ter ordem que divida a ordem dele próprio (isso sempre vale para homomorfismos de grupos). Então você conclui do fato que $|Aut(N)|$ é par e $|G|$ é impar que a ordem da imagem de um elemento deva ser $1$, assim a identidade. Como tomamos um elemento arbitrário em $G$ e o mapa é conjugação, isso significa que $N$ está no centro de $G.$
written 3 months ago by Roberto Alvarenga Jr.  
Dica: Use a ação de G em  N por conjugação e o teorema órbita-estabilizador.
written 3 months ago by Estevão Lobo  
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Ok, tentarei. Obrigado
written 3 months ago by Guilherme  
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Também pode usar que a conjugação por elementos de G define um mapa G -> Aut(N) e calcular as respectivas ordens.
written 3 months ago by Roberto Alvarenga Jr.  

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3 months ago by
Minha resolução:
Seja a ação de \(G\) em \(X = N\) por conjugação. Sabemos que: \[|X| = |X^G| + \sum\limits_{x\in A}[G:Stab(x)]\]

Onde \(A\) é um conjunto com um representante de cada órbita não-trivial. Ou seja,
\[5 = |Z(G) \cap N | + \sum\limits_{x\in A}|Orb(x)|\] Como \(|Z(G) \cap N | \) é pelo menos \(1\) note que não podem haver órbitas não triviais: Não podem ter órbitas de tamanho \(2\) ou \(4\) (pois \(G\) é ímpar, e o tamanho da órbita divide a ordem do grupo) e não pode haver uma órbita de tamanho \(3\), ou teríamos que \(|Z(G) \cap N| = 2\) (novamente, G é ímpar).

Logo, \(|Z(G) \cap N| = 5 \implies N \subset Z(G)\).
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Obrigada Estevão, ajudou muito!
written 3 months ago by Cláudia  
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Estevão, só faltou um detalhezinho... No índice do somatório, você precisa retirar o \(X^G\) de \(A\), se não você está contando todo mundo duas vezes! Seria \(5 = |Z(G) \cap N | + \sum\limits_{x\in A \setminus X^G}|Orb(x)|\)
Aí, a conclusão de que só podem ter órbitas triviais implica que se um elemento tem órbita de ordem \(1\) é porque \(gxg^{-1}=x \ \forall \ g \in G\) e aí esse elemento estaria no centro.
Mas valeu pela resolução, tava travado nessa aí.
written 3 months ago by Henrique Lecco  
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Nossa, gente, valeu demais! Vou pensar melhor e reformular tudo o que escrevi :)
written 3 months ago by Natália Porta  
po, eu falei que A é um conjunto com um representante de cada órbita não trivial, né, haha
written 3 months ago by Estevão Lobo  
Opa! Passou batido! É verdade, foi mal haha
written 3 months ago by Henrique Lecco  
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Gente, eu não entendi o porquê de usar  $Z\left(G\right)\cap N$Z(G)N  ao invés de  $Z\left(G\right)$Z(G) simplesmente, afinal não estamos trabalhando apenas com a equação clássica de classes?
written 3 months ago by Lucas Destro  
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Edit: acho que com equação clássica de classe você quis dizer de, \(G\) em \(G\). Nesse caso é uma ação de \(G\) em \(X =N\), então queremos os pontos fixos da ação: \(X^G =\{x\in X: gxg^{-1}=x\}\) . Mas \(X=N\). Consegue ver agora?
written 3 months ago by Estevão Lobo  
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3 months ago by

Defina H = N$\cap$ Z(G) ($\ni${e}). Como H<N,  |H| \ |N| e |N| é primo, |H| = 1 ou |H| = 5. Se H$\ne${e} (não consegui fazer isso), temos que |H| = 5, então H = N. Conclusão: N = H$\subset$ Z(G). Fim :)

Para provar que H$\ne$ {e}. Tentei usar o último teorema da aula do dia 3 maio, mas só consegui chegar que Z(N)$\ne${e}. Já havia tentado por esse caminho, mas não consegui concluir, agradeço qualquer ideia sobre essa resolução.

Oi Claudia,  

você ainda pode usar a ideia do primeiro item pra fazer esse. Defina
\[  \psi : G \rightarrow Aut(N) \]
por \( \psi(g) n = gng^{-1} \). Observe que  \( ord(\psi(g)) | ord(g) \). Mas a ordem de \(\psi(g)\) tem de dividir \(p-1\), assim se a mesma for diferente de \(1\), deverá existir um primo \(p'\) que a divida e por conseguinte deverá dividir a ordem de \(g\). Então o exercício segue da minimalidade de \(p\).  
written 12 weeks ago by Roberto Alvarenga Jr.  
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