Como proceder?


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5 months ago by

Estou tentando mostrar que dado um \(G\) grupo tal que \(|G| = n\), temos que \(g \in G \Rightarrow g^n = e \).

Até agora tentei assumir a contra-positiva \((\exists g \in G : g^n = h \neq e)\) e tomar o subgrupo \(<g>\) gerado por esse \(g\) tal que \(|<g>| = m < n\) e usar divisão euclidiana \( n = mq + r, \, 0 \leq r < n\) para chegar em alguma contradição, mas isso ainda não aconteceu.

Ideias?

Community: ALGEBRA I -2018

2 Answers


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5 months ago by
Se o grupo for finito, então obrigatoriamente um dos \(g^k\) é o elemento neutro. Se for um \(k<n\), então \(g^{k+1}=g\)  e daí a ordem do grupo é menor que n (pois \(n=kq+r, r<k\)). A ideia é essa, estou no celular então fica um pouco difícil desenvolver 100%, mas espero ter ajudado.
não entendi, quem é \(k\)? a parte da ordem ser menor estou usando para desenvolver a divisão euclidiana
written 5 months ago by Estevão Lobo  
\(k\) é algum dos números \(\{1,2,...,n\}\)
written 5 months ago by Henrique Lecco  
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5 months ago by
Seja \(k = |\langle g \rangle |\) para \(g \in G\). Temos que \(g^n = e \iff k \bigm| n\). A demonstracão dessa equivalência utiliza:

  1. \(n = kq + r, 0 \leq r < k\)
  2. \(k\) é o menor inteiro positivo tal que \(g^k = e\)
Esse é o fato importante #4 que o professor demonstrou na aula de terça.
Agora, como \(\langle g \rangle \) é um subgrupo de \(G\), pelo Teorema de Lagrange (que não vimos ainda), \(|\langle g \rangle | \bigm| |G|\) e portanto \(g^n = e\).
certo, a equivalência é o que eu estou tentando usar, mas estou tentando provar sem usar lagrange
written 5 months ago by Estevão Lobo  
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