Densos em Subespaços


85
views
0
5 months ago by

Olá pessoal,

Fazendo os exercícios de espaços de Baire, me deparei com uma dúvida: Densos "descem" para subespaços? Segundo a demonstração que fiz, isso ocorre ao menos para subespaços abertos:

Proposição: Sejam \( (X, \tau)\) um espaço Hausdorff, \(D \subset X\) denso em \(X\), e \(A \subset X\) aberto em \(X\). Então \(D \cap A\) é denso em \(A\) (com a topologia de subespaço)

Demonstração:

Seja \(V \subset A\) um aberto não-vazio em \(A\). Logo existe \(V^*\) aberto em \(X\) tal que \(V=V^* \cap A\). Observe que \(V\) também é aberto em \(X\), por ser interseção de dois abertos.

Como \(D\) é denso em \(X\), temos que \(V \cap D \neq \varnothing\). Logo, como \(V \cap A = V\), temos \(V \cap D = V \cap A \cap D = V \cap (D \cap A) \neq \varnothing\). Então \(D \cap A\) é denso em \(A\). \(_\blacksquare\)

Minhas dúvidas são:

  • A demonstração está correta?
  • Existe alguma generalização (\(G_\delta\), compactos)?

Eu acho que dá para provar o seguinte (não tentei, então estão todos convidados):

Se \(V \subset X\) é tal que, para todo \(D \subset X\) denso, temos que \(D \cap V\) é denso em \(V\), então \(V \subset \overline{Int V}\).

A ideia é que quase valeria a volta do que você falou: se \(V\) tem a propriedade explicitada, \(V\) seria aberto. Mas acho que qualquer coisa entre um aberto e seu próprio fecho também funcionaria, daí o meu enunciado.

written 5 months ago by Leandro Aurichi  

Acho que não precisa da hipótese de \((X,\tau)\) Hausdorff.

written 5 months ago by Matheus Duzi  

2 Answers


2
5 months ago by

Temos, então (seguindo a ideia do Leandro):

Proposição: Seja \((X,\tau)\) um espaço topológico. Então \(V\subset X\) é tal que todo \(D\) denso em \(X\) é denso em \(V\) com a topologia de subespaço se, e somente se, \(V\subset\overline{IntV}\).

Demonstração: Note que se \(V\subset\overline{IntV}\), temos que se \(A\cap V\) é não vazio, então \(A\cap IntV\) é não vazio, portanto podemos  repetir a sua demonstração pra obtermos que todo \(D\) denso em \(X\) é denso em \(V\).

Por outro lado, assuma que \(V\) é tal que todo \(D\) denso em \(X\) é denso em \(V\). Tome  \(V'=V\setminus\overline{IntV}\). Note que  \(IntV'=\varnothing\), portanto temos que \(D'=X\setminus V'\) é denso em \(X\) e, por hipótese, denso em \(V\). Agora, tome o aberto  \(A=X\setminus\overline{IntV}\). Neste caso, temos que \((A\cap V)\cap D'=V'\cap D'=\emptyset\). Segue que \(V'=\emptyset\). \(_\blacksquare\)

Note que não precisamos da hipótese de \((X,\tau)\) Hausdorff!

1

Havia adicionado Hausdorff porque tudo fica bonito com Hausdorff, hehe. Mas olhando agora, não precisava mesmo. Valeu!

written 5 months ago by Guilherme Nakassima  
3
5 months ago by
Guga  

Bom, nos reais, tome os racionais como seu denso e seu subespaço é um irracional. Já não teve como generalizar para os exemplos que você citou.

Mas a demonstração está certa, sim.

1

Até pensei nos racionais como exemplo que não dava pra generalizar para todo subespaço, mas achei que poderia salvar pelo menos alguma coisa a mais. Valeu!

written 5 months ago by Guilherme Nakassima  
Please login to add an answer/comment or follow this question.

Similar posts:
Search »
  • Prova 3 Questão 3
    Uma \(\pi\)-base para um espaço topológico \(X\) é uma família \(\mathcal B\) de abertos não vazi...
  • Prova 1 Questão 1
    Seja \(X\) espaço topológico. Dizemos que \(x \in X\) é isolado se \(\{x\}\) é aberto. Considere ...
  • Prova 2 Questão 5
    Um professor não muito bom de topologia começou a aula dizendo que ia provar o ``Teorema da conti...
  • Prova 1 Questão 4
    Joãozinho é preguiçoso e acha que na caracterização de base, basta pedir que todo elemento de \(\...
  • Prova 3 Questão 1
    Seja \(X\) espaço topológico. Seja \(\mathcal C\) uma cobertura aberta para \(X\) que é localment...
  • Prova 2 Questão 1
    Seja \(M \subset \mathbb R^n\) (com a topologia de subespaço). Sejam \(a, b \in M\). Sejam \(f, g...
  • Prova 2 Questão 4
    Considere o espaço \(\mathcal F\) das funções \(f: \mathbb R \to [0, 1]\) crescentes (isto é, \(f...
  • Prova 1 Questão 2
    Considere \((X, d)\) espaço métrico. Encontre uma família \(\mathcal F\) de funções de forma que ...
  • Aula dessa semana
    Mudança nos planos: https://www.allanswered.com/post/qqxx/nova-mudan%C3%A7a-espero-que-final/ O...