Questao 22 - lista 4


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1
5 months ago by
Anonymous

Seja p um grupo e seja p o menor primo que divide a ordem de G, e H subgrupo de G, com [G:H] = p. Mostre que H é normal em G.

Escrevi a ação de H em G/H (como a dica manda), mas não consegui sair daqui. Alguma ajuda?

Community: Algebra I-ICMC-2017

2 Answers


7
5 months ago by

Vou dar algumas dicas do que você pode fazer nessa questão e depois, se você quiser e ainda for necessário, posso apresentar a resolução completa que eu fiz (não sei se o resto do pessoal fez da mesma forma).

Inicialmente você escreve a ação de \(H\) em \(G/H\) como recomendado pela dica.

- Observe primeiramente que \(|orb(H)|=1\);

- Dado agora um \(gH \in G/H\) qualquer com \(g \not\in H\), como \(orb(gH) \subset G/H\), vale que \(|orb(gH)| \leq p\);

- Lembre-se que pelo Teorema de Órbita-Estabilizador, \(|orb(gH)| \mid |H|\), logo \(|orb(gH)| \mid |G|\) (observe apenas que como nesse caso a ação é feita por \(H\), o Teorema de Órbita-Estabilizador nos dará que \(|orb(gH)| = [H:stab(gH)]\));

- Usando as observações acima e o fato de que \(p\) é o menor primo dividindo \(|G|\), conclua que temos \(|orb(gH)| = 1\) ou \(|orb(gH)| = p\) para todo \(gH \in G/H\);

- Lembrando que já temos \(|orb(H)| = 1\), conclua que para todas as outras classes laterais devemos ter necessariamente \(|orb(gH)| = 1\), ou seja, que o caso \(|orb(gH)|=p\) implica um absurdo (suponha por absurdo que existe uma órbita de tamanho \(p\) e use o fato de que as órbitas particionam \(G/H\));

- Pelo que foi concluído acima, podemos concluir que para todo \(g \in G\) e \(h \in H\) temos \((hg)H = gH\);

- Conclua assim que \(gHg^{-1} \subset H\) para todo \(g \in G\), logo, \(H \triangleleft G\).

5
5 months ago by

Age com G em G/H que é mais fácil,você vai chegar na função de G em Sym(G/H) ,onde Sym(G/H) está mergulhado em Sp

Temos pelo primeiro teorema do isomorfismo:
G/ker(phi) = Im(phi) -> Sp (A seta significa mergulhado)

|G| = (p^k1).(p2^k2)...(pn^kn)
Como o índice de H em G é p ,então a ordem de H é |H| = (p^(k1-1) )....(pn^kn)
O ker(phi) é subgrupo de H,então ,a princípio suponhamos, |Ker (phi) | = (pj^zj)...(pl^zl) onde esses primos estão na fatoração da ordem de H,mas |H| é diferente de |Ker(phi)|

Então você sabe que o número |G|/|Ker(phi)| tem fatores primos,todos maiores ou iguais a p,mas temos que este número divide |Sp| ,que tem ordem p!,mas p! = p(p-1)...1 ,e não existe primos maiores do que p na decomposição em primos de p! ,assim chegamos em um absurdo.Absurdo em que?em supor que |Ker(phi)| é diferente da |H|,então
|H|= |Ker(phi)| e o ker(phi) é subgrupo,então H é normal.

Equivale a pensar que o índice de Ker(phi) em G só pode ser p,pois  se for algo diferente,você tem algum primo maior que p nessa decomposição,o que não vai dividir |Sp| ,então vc tem que  p = [G:H]=[G:Ker(phi)] =>
|Ker(phi)|=|H|  e Ker(phi) <H => Ker(phi) = H

Mas a dica diz pra você agir com o \(H\), não com o \(G\), certo? Nesse caso o que você fez foi agir com o \(G\) pra conseguir um morfismo com o simétrico.
Desse jeito eu consegui fazer, mas e agindo com o \(H\), será que tem outra forma de fazer?

written 5 months ago by Frederico Bianchini  

Acho que você também poderia pensar assim, se ker(phi) é subgrupo de H:

G/ker(phi) ~ Im(phi) = G/H

|G/ker(phi)| = |G/H|

|G|/|ker(phi)| = |G|/|H|

|ker(phi)| = |G|/(|G|/|H|) = |H|

 

Mas não ficou muito claro para mim o porquê de ker(phi) ser subgrupo de H. Poderia desenvolver um pouco?

written 5 months ago by Éricles  
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