Questão 7 da lista 4


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3 months ago by

Alguém que fez poderia resolver ou explicar como resolve um ou dois itens da questão 7? Por favor.
O item (a) o professor fez em sala, na hora pensei ter entendido, mas quando tentei resolver não saiu. Obrigada.

7) Determine as classes de conjugação dos seguintes grupos:

a) S3
b) S4
c) A4
d) D4
e) Q8 = {+/- 1, +/- i, +/- j, +/- k}

add commentfollow this post modified 3 months ago by Felipe César Freitas Monteiro   • written 3 months ago by Danielle  

Uma  dica para a) e b) é que elementos conjugados em \(S_n\) têm a mesma "estrutura cíclica".
Voce consegueria listar os elementos de \(S_3\) e separá-os de acordo com a estrutura clícica deles?
Consegue fazer o mesmo para o \(S_4\)?
Pode mostrar como ficou?

modified 3 months ago by Herivelto Borges   • written 3 months ago by Herivelto Borges  

Se estiver certo, ficou assim: 

S3: {e},

       {(1 2), (1 3), (2 3)},

       {(1 2 3), (1 3 2)}

 

S4: {e}, 

    {(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4)},

    {(1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)},

    {(1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 4 2 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 3 2)},

    {(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}

written 3 months ago by Danielle  

1 Answer


7
3 months ago by

Dani,

Primeiro voltemos a definição de classe de conjugação: Dado \(x \in G\), definimos \( Cl(x) := \) { \(g \cdot x \cdot g^{-1} | g \in G\) }. Ou seja, fixado um \(x \in G\), basta calcularmos todos os elementos que são obtidos a partir de conjugação no grupo. Por exemplo, se tomarmos o elemento neutro \( e \in G \), temos que \( Cl(e) = { g \cdot e \cdot g^{-1} | g \in G} = \) { \(g \cdot g^{-1} | g \in G\) } \(= \){ \(e \)}. Isto vale para todo grupo.

Exemplo: Classes de conjugação dos Quaternions ( letra e). Dos quaternions, temos as seguintes identidades: \( i^2 = j^2 = k^2 = -1 \) e que \( i^{-1} = -i \), \( j^{-1} = -j \), \( k^{-1} = -k \). Calculando, por exemplo, a classe de conjugação do elemento i. Então, vamos precisar conjugar ele por todos os elementos do grupo.

(i) \( i \in Cl( i ) \), pois \( e \cdot i \cdot e^{-1} = i \).

(ii) Podem haver redundancias. Por exemplo, se conjugarmos por i, ganhamos que \( i \cdot i \cdot i^{-1} \in Cl(i) = (-1) \cdot (-i) = i \in Cl(i) \).

Não sei se entendeu a ideia, vc precisa conjugar por todos os elementos do grupo (multiplicar a esquerda pelo elemento e pela direita pelo inverso dele) e ver no que dá. As vezes dá pra achar alguns padrões pra reduzir o gasto de grafite.

add comment modified 3 months ago by Felipe César Freitas Monteiro   • written 3 months ago by Felipe César Freitas Monteiro  
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