Teorema Correspondência item b


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4 months ago by
Tive dificuldades em provar que  $\phi$ϕ está bem definida porque, até então, pegávamos duas classes iguais (dois representantes), levávamos na imagem, e notávamos que, necessariamente, esses representantes eram iguais. Isso me pareceu a mesma coisa que o professor fez para mostrar sobrejetividade! Como as classes "estavam" no contradomínio da  $\phi$ϕ , decidi construir a inversa.
Precisamos mostrar que  $\phi$ϕ é bijetor. Basta mostrar que existe  $\phi^{-1}$ϕ1, que é inversa de $\phi.$ϕ.  Vou mostrar que é inversa. Mas, novamente, não consegui mostrar que a inversa está bem definida. Ajudas por favor.
Afirmação:  $\phi^{-1}:B\rightarrow A$ϕ1:BA ,  $\frac{S}{H}\mapsto\phi^{-1}\left(\frac{S}{H}\right)=\pi^{-1}\left(\frac{S}{H}\right)=\left\{g\in G:\pi\left(g\right)=gH\in\frac{S}{H}\right\}$SH ϕ1(SH )=π1(SH )={gG:π(g)=gHSH } é a inversa de  $\phi.$ϕ.    
1.  $S\subset\phi^{-1}\left(\phi\left(S\right)\right)$Sϕ1(ϕ(S)).
Lembre $\phi\left(S\right)=\frac{S}{H}$ϕ(S)=SH   e  $\pi\left(g\right)=gH$π(g)=gH .
Então,    $\phi^{-1}\left(\phi\left(S\right)\right)=\phi^{-1}\left(\frac{S}{H}\right)=\left\{g\in G:gH\in\frac{S}{H}\right\}\supset S.$ϕ1(ϕ(S))=ϕ1(SH )={gG:gHSH }S.   Isso ocorre porque, se  $s\in S,$sS,   $sH\in\frac{S}{H}$sHSH    por definição.
2.  $\phi^{-1}\left(\phi\left(S\right)\right)\subset S.$ϕ1(ϕ(S))S.
Seja   $g\in\phi^{-1}\left(\phi\left(S\right)\right)=\left\{g\in G:gH=\frac{S}{H}\right\}.$gϕ1(ϕ(S))={gG:gH=SH }. Então,  $gH=sH$gH=sH , para $s\in S.$sS. Isto é,  $g=sh$g=sh , para algum  $h\in H.$hH.
Por hipótese,   $H\subset S\Rightarrow$HS      $s,h\in S\Rightarrow sh=g\in S$s,hSsh=gS     por que H é grupo.
Então,  $\phi^{-1}\left(\phi\left(S\right)\right)=S.$ϕ1(ϕ(S))=S.
Community: ALGEBRA I -2018
Creio que tenha resolvido o problema:
Afirmação: $\phi^{-1}$ϕ1 está bem definida.
De fato, sejam  $\frac{S_1}{H}=\frac{S_2}{H}$S1H =S2H . Queremos mostrar que:
a)  $\phi^{-1}\left(\frac{S_1}{H}\right)=\phi^{-1}\left(\frac{S_2}{H}\right)$ϕ1(S1H )=ϕ1(S2H )
$\phi^{-1}\left(\frac{S_1}{H}\right)=\left\{g\in G:\pi\left(g\right)=gH\in\frac{S_1}{H}\right\}=\left\{g\in G:\pi\left(g\right)=gH\in\frac{S_2}{H}\right\}=\phi^{-1}\left(\frac{S_2}{H}\right)$ϕ1(S1H )={gG:π(g)=gHS1H }={gG:π(g)=gHS2H }=ϕ1(S2H ) porque  $\frac{S_1}{H}=\frac{S_2}{H}.$S1H =S2H .
b)  $\phi^{-1}$ϕ1 leva subgrupos  $I\le\frac{G}{H}$IGH em subgrupos $S\le G$SG que contém $H$H.
Seja   $I\le\frac{G}{H}$IGH tal que  $\phi^{-1}\left(I\right)=S$ϕ1(I)=S. Então,  $\phi^{-1}\left(I\right)=\left\{g\in G:\pi\left(g\right)=gH\in I\right\}=S$ϕ1(I)={gG:π(g)=gHI}=S.
Afirmação:  $H\subset S$HS.
Como $\pi\left(h\right)=hH=H,\forall h\in H$π(h)=hH=H,∀hH e  $H\in I\le\frac{G}{H}$HIGH , temos $H\subset S.$HS.
Afirmação: $S\le G.$SG.
Como $\pi\left(1\right)=1H=H\in I$π(1)=1H=HI  (porque $1\in H$1H),  $1\in S.$1S.
Sejam  $g_1,g_2\in S$g1,g2S, então  $g_1H\in I,g_2H\in I\Rightarrow\left(g_1H\right)\left(g_2H\right)=\left(g_1g_2H\right)\in I$g1HI,g2HI(g1H)(g2H)=(g1g2H)I  porque  $I$I  é um Grupo.
written 3 months ago by Manoel Netto  

4 Answers


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4 months ago by
Não precisa definir uma inversa. Basta mostrar que a função é injetora e sobrejetora. Que é injetora, o Herivelto já fez na sala. Mexendo um pouquinho nisso que você já fez (basicamente é só mudar de "função inversa" para "imagem inversa" e fazer as adequações necessárias), você consegue a sobrejeção. Aí não precisa mostrar que está bem definida de novo porque ele também já o fez na sala.
Só uma coisa que quero pontuar é uma confusão na definição ali: \(sH=\frac{S}{H}\) não é verdade. \(sH=\{sh : h \in H\}\) e \(\frac{S}{H}=\{sH : s \in S \} \)
Obrigado, Henrique. Foi erro de digitação. Já modifiquei. Boa observação, de qualquer forma.
written 4 months ago by Manoel Netto  
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3 months ago by
Anonymous
Olá!
Manoel, na parte de verificar se phi^(-1) está bem definida, por que é necessário especificar a parte b em diante?

Desde já agradeço.
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Oi. Porque o fato de $\phi^{-1}$ϕ1 estar bem definida não me garante (a priori) que ela leva subgrupos de $\frac{G}{H}$GH em subgrupos de $G$G que contém $H$H .
written 3 months ago by Manoel Netto  
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3 months ago by
"Tive dificuldades em provar que  $\phi$ϕ está bem definida porque, até então, pegávamos duas classes iguais (dois representantes), levávamos na imagem, e notávamos que, necessariamente, esses representantes eram iguais.". Cuidado, Manoel. Talvez você esteja confundindo a prova da função ser injetora. Para provar que está bem definida é o contrário. Você admite que as classes são iguais (pegando representantes diferentes) e concluia que as imagens devem ser iguais. Percebe a diferença? Caso eu esteja equivocado, alguém me corrija!

Espero ter ajudado.
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3 months ago by
"Tive dificuldades em provar que  $\phi$ está bem definida porque, até então, pegávamos duas classes iguais (dois representantes), levávamos na imagem, e notávamos que, necessariamente, esses representantes eram iguais.". Cuidado, Manoel. Talvez você esteja confundindo a prova da função ser injetora. Para provar que está bem definida é o contrário. Você admite que as classes são iguais (pegando representantes diferentes) e concluia que as imagens devem ser iguais. Percebe a diferença? Caso eu esteja equivocado, alguém me corrija!

Espero ter ajudado.
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