Questão 29 (b) (Lista 3)


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12 weeks ago by
Olá,

Não consegui fazer usando os passos informados no enunciado e se alguém puder me dar uma "luz" (mais por curiosidade).

Eu fiz ela da seguinte forma. Sendo |H| = 6, temos que há pelo menos um elemento de ordem 2.

Caso 1: há um único elemento (h) de ordem 2. Assim os outros 4 elementos tem ordem 3, seja g tal elemento. Então g-1, g2 e (g2)-1 pertencem a H. Mas assim hg não pertence a H pois:
Se hg = e => g = h-1, mas suas ordens são diferentes (absurdo)
Se hg = h => g = e (absurdo)
Se hg = g => h = e (absurdo)
Se hg = g2 => h = g (absurdo)
Se hg = g-1 => h = (g2)-1 (absurdo)
Se hg = (g2)-1 => h = e (absurdo)

Caso 2: há dois elementos de ordem 2. Mas isso implica que os outros 3 são de ordem 3, logo H deve ter 3 elementos de ordem 2 e 2 de ordem 3 (além do neutro). Com isso V < H, mas |V| não divide |H| (absurdo).

Com isso H não pode existir.

Me parece que a intenção do exercício de fazer de uma forma mais enxuta, mas eu não consegui visualizá-la.

Obrigado.
Community: ALGEBRA I -2018
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Claudinei, segue duas maneiras de provar o exercício. A primeira "seguindo" os passos do enunciado e a segunda "independente".

1- Se \(H\) subgrupo de ordem \(6\) de \(A_4\) então \(H \cong S_3\) (verifique !). Como \(S_3\) consiste da identidade, três elementos de ordem \(2\) e dois elementos de ordem \(3\) e \(A_4\) tem exatamente três elementos de ordem \(2\), isso implica \(V \subset H\), um absurdo.

2- Considera o mapa natural \(\pi: A_4 \rightarrow A_4/H\). Seja \(x \in A_4\) de ordem \(3\), então \( ord(\pi(x))|3\). Mas \(|A_4/H| = 2\), então também \(ord(\pi(x))|2\). Assim, todo elemento de ordem \(3\) de \(A_4\) pertence a \(H\). Novamente um absurdo, uma vez que \(A_4\) tem oito elementos de ordem \(3\).
written 12 weeks ago by Roberto Alvarenga Jr.  
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Olá,

Até consegui mostrar a inclusão própria de H em HV, mas o problema foi no caso em que |HV| = 12. Tipo, o que tu usou pra mostrar que HV/V é isomorfo a H foi só o 1º teorema do isomorfismo ou tem algum outro resultado?

Quanto ao lance das ordens, bom, o que eu fiz foi usar que a ordem do suposto grupo H é 6, mas que como ele é subgrupo de A4, ele só poderia ter elementos de determinadas "formas" (no caso, A4 tem o neutro, 3 elementos de ordem 2 que são os elementos de V e 8 elementos de ordem 3, que são os 3-ciclos).

Mas mesmo assim, muito obrigado.
written 12 weeks ago by Claudinei Caetano Júnior  
Claudinei, você tem razão. Minha prova não estava completa, ainda teríamos que descartar o caso onde \(H \cap V = 2\), mas isso é basicamente o que você fez. Editei meu comentário e adicionei duas soluções (acredito estar corretas). Obrigado !
written 12 weeks ago by Roberto Alvarenga Jr.  
Valeu mesmo. Eu acabei usando, dada as hipóteses, que A4/H.
written 12 weeks ago by Claudinei Caetano Júnior  
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