Dúvida na definição/notação


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4 months ago by
Anonymous
Olá pessoal!
Sobre Sn "->" GLn(Fp). Essa "->" (setinha curva) significa que existe um mapa isomorfo entre os dois grupos, certo? Além disso, essa setinha afirma que SEMPRE o grupo a esquerda é um subgrupo do grupo a direita, ou fiz confusão?

Agradeço desde já.
Community: ALGEBRA I -2018

3 Answers


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4 months ago by
\(N \hookrightarrow M\) significa que existe algum morfismo injetor (vamos chamá-lo de \(\psi\)) de \(N\) para \(M\).

Ou seja, como a imagem de \(\psi\) é um subgrupo de \(M\) (já que \(\psi\) é morfismo), você pode interpretar como se houvesse uma "cópia" de \(N\) dentro de \(M\), pois \(\psi\) restrita à imagem dela mesma acaba sendo sobrejetora, isto é:  \[N \simeq \psi[N] \leq M \].

Clarificando: \(N\) não é necessariamente isomorfo a \(M\), e sim isomorfo a algum subgrupo de \(M\) (em particular, esse subgrupo será a imagem do morfismo injetor de \(N\) para \(M\), isto é: \(\psi[N]\)). Isso também não significa que \(N\) é um subgrupo de \(M\), mas sim que existe um subgrupo de \(M\) idêntico a \(N\) (do ponto de vista da teoria de grupos).
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Estevão muito rápido. Te perguntar, como que faz o símbolo dessa relação ai em latex?
written 4 months ago by Cezar Guimarães  
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Haha, quando alguém posta alguma coisa no allanswered toca um alarme de bombeiro aqui em casa.

A setinha curva (acho que em inglês a "galera" chama de embedding e em português, de mergulho) se escreve \hookrightarrow.

written 4 months ago by Estevão Lobo  
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4 months ago by
Pelo que eu entendi \(A \hookrightarrow  B\) significa que \(A \simeq H \leq B\). Ou seja, podemos "enxergar" o grupo \(A\) como um subgrupo \(H\) de \(B\), pois existe um isomorfismo entre \(A\) e \(H\).
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4 months ago by
Essa seta não tem nada a ver com ser subgrupo ou não. Indica apenas que existe um monomorfismo de \(S_n\) em \(GL_n(\mathbb{F}_p)\).
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