Fórmula no Axioma da Escolha


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4 months ago by
Em algum momento da última aula, o Aurichi mencionou o porquê do Axioma da Escolha não ser uma afirmação natural que deriva dos outros axiomas/lógica. Acredito que o que ele fez foi dizer que daria problema em construirmos uma fórmula
\(\exists x_1 \in X_1 \exists x_2 \in X_2 \dots \exists x_n \in X_n \dots\)
pois ela seria infinita.
Porém não é possível escrevermos (e inclusive está nas hipóteses do axioma) que \(\forall i, X_i \neq \varnothing\)? Isso não é o mesmo que afirmar que para cada \(i\), existe um elemento \(x_i \in X_i\), isto é, a mesma fórmula infinita acima?
Eu entendo que no axioma você está especificando elementos (e posteriormente construindo o conjunto formado pelos unitários \(\{x_i\}\), o que talvez dê problema em provar que de fato exista), mas pelo que entendi, a afirmação não poderia nem ser formulada. Alguém pode esclarecer?

obs: Como que põe as coisas em LaTeX aqui mesmo? Esqueci
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Pra escrever em LaTeX, em vez de usar o $ que você usaria normalmente, comece a sentença com \(\setminus(\) e termine com \(\setminus)\)
written 4 months ago by Henrique Lecco  

2 Answers


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4 months ago by
Pelo que entendi, fazer uma "recursão infinita" ( \( \exists x_1 \in X_1 \exists x_2 \in X_2... \) ) para tomar elementos dos conjuntos não está bem definido porque você usa infinitos símbolos. Então, realmente, conseguimos apenas dizer que cada conjunto é não vazio de maneira geral, mas note que, fazendo isso, não fixamos um elemento de cada conjunto, e então, não precisamos ainda do axioma da escolha.
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4 months ago by
Pensei numa resposta que acho que é melhor que a da aula. Vejam o que acham...

Se eu tenho só \(X_1\) e \(X_2\), eu consigo com uma fórmula com dois existes, dizer que tem \(x_1\) e \(x_2\) nos lugares certos. Daí, usando o axioma do par, consigo dizer que existe o conjunto \(\{x_1, x_2\}\).

Mas agora suponha que nos é dada uma família infinita \(\{X_n: n \in \omega\}\). A gente pode até usar indução e provar que existem conjuntos como \(\{x_1, ..., x_k\}\) para qualquer \(k \in \omega\) (usando o axioma do par várias vezes). Mas a indução não vai nos dar o "último" termo \(\{x_n: n \in \omega\}\). O axioma da escolha entraria para construir esse último.
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