Um pouco mais sobre a dica no Teorema de Pascal (Exercício 11 da lista 3)


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16 days ago by
Supondo \( K \) algebricamente fechado, podemos tomar uma projetividade que leva \(3\) dos \(6\) vértices do hexágono em \( (1:0:0), (0:1:0) \) e \( (0:0:1) \), e a cônica fica dada por \( xy+xz+yz=0 \). Nessa situação fica menos trabalhoso encontrar as coordenadas dos pontos \( P, Q \) e \( R \) em termos das coordenadas dos outros \(3\) vértices (os que não são \( (1:0:0), (0:1:0) \) e \( (0:0:1) \)). Daí é só verificar que a condição de colinearidade é satisfeita (lembrando que os vértices do hexágono são pontos da cônica). Note que como a cônica é irredutível, quaisquer três vértices do hexágono não são colineares: isso nos permite escolher de maneira esperta \(3\) vértices do hexágono e fazer a brincadeira anterior.

Alternativamente, podemos usar o seguinte resultado que é consequência do teorema de Bézout.

Suponha que \(C_1\) e \(C_2\) sejam duas cúbicas que se intersectam em \(9\) pontos distintos. Então qualquer cúbica que passe por \(8\) desses \(9\) pontos também passa pelo nono.
modified 16 days ago by Alex Freitas de Campos   • written 16 days ago by Alex Freitas de Campos  
Uma excelente discussão disso tudo é feita no blog do Terence Tao.
written 16 days ago by Alex Freitas de Campos  

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