Um pouco mais sobre a dica no Teorema de Pascal (Exercício 11 da lista 3)


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Supondo \( K \) algebricamente fechado, podemos tomar uma projetividade que leva \(3\) dos \(6\) vértices do hexágono em \( (1:0:0), (0:1:0) \) e \( (0:0:1) \), e a cônica fica dada por \( xy+xz+yz=0 \). Nessa situação fica menos trabalhoso encontrar as coordenadas dos pontos \( P, Q \) e \( R \) em termos das coordenadas dos outros \(3\) vértices (os que não são \( (1:0:0), (0:1:0) \) e \( (0:0:1) \)). Daí é só verificar que a condição de colinearidade é satisfeita (lembrando que os vértices do hexágono são pontos da cônica). Note que como a cônica é irredutível, quaisquer três vértices do hexágono não são colineares: isso nos permite escolher de maneira esperta \(3\) vértices do hexágono e fazer a brincadeira anterior.

Alternativamente, podemos usar o seguinte resultado que é consequência do teorema de Bézout.

Suponha que \(C_1\) e \(C_2\) sejam duas cúbicas que se intersectam em \(9\) pontos distintos. Então qualquer cúbica que passe por \(8\) desses \(9\) pontos também passa pelo nono.
Uma excelente discussão disso tudo é feita no blog do Terence Tao.
written 10 weeks ago by Alex Freitas de Campos  

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