1a questão Lista 4


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Seja \(G\) um grupo e \(X\) um conjunto não-vazio. Mostre que toda açao de \(G\) em \(X\) corresponde a um morfismo de grupos \(G \longrightarrow Sym (X)\).

Community: Algebra I-ICMC-2017

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Anonymous

Seja \(G\) um grupo e \(X\) um conjunto não-vazio. Temos que a ação de \(G\) em \(X\) é definida como a seguinte função:

\[ \phi: G \times X \rightarrow X\]

\[    (g,x) \mapsto g \cdot x \]

Dado \(g_1 \in G\) fixado, a seguinte função, induzida pela ação:

\[ \phi_{g_1}: X \rightarrow X \]

\[ x \mapsto g_1 \cdot x  \]

É uma bijeção.

(I) É injetora, pois, dados \( x_1 , x_2 \in X \), se \( \phi_{g_1}(x_1) = \phi_{g_1}(x_2) \longrightarrow  g_1 \cdot x_1 = g_1 \cdot x_2  \).

Podemos agir nos elementos acima por \((g_1)^{-1}\), resultando: \(  (g_1)^{-1} \cdot (g_1 \cdot x_1) = (g_1)^{-1} \cdot (g_1 \cdot x_2) \longrightarrow ((g_1)^{-1} g_1) \cdot x_1 = ((g_1)^{-1} g_1) \cdot x_2 \longrightarrow e \cdot x_1 = e \cdot x_2 \longrightarrow x_1 = x_2 \).

(II) É sobrejetora, pois, dado \( x \in X \), existe o elemento \( g^{-1} \cdot x \in X \) tal que \( \phi_{g_1}(g^{-1} \cdot x) = x \).

Logo, para cada \( g \in G \), temos \( \phi_{g} \in Sym(X) \). Construindo a função:

\[ \varphi : G \rightarrow Sym(X)  \]

\[ g \mapsto \phi_{g} \]

Provemos que \( \varphi \) é um morfismo de grupos. 

Sejam \( g_1, g_2 \in G \). \( \varphi(g_1g_2) = \phi_{g_1g_2} \). Temos que \( \phi_{g_1g_2}(x) = (g_1g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x) = \phi_{g_1}(g_2 \cdot x) =  (\phi_{g_1} \circ \phi_{g_2})(x) \forall x \in X  \). Então \( \varphi(g_1g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2) \). Logo \( \varphi \) é o morfismo desejado.

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