Questão 4 - Lista 4


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3 months ago by
Anonymous
Bom dia a todos!

Alguém poderia me confirmar se esta resolução está correta, por favor? Acho que posso estar fazendo confusão em algumas passagens, principalmente na hora de definir a ação. Desde já agradeço =)

Considere a ação GxH -> H, dada por gh=g^{-1}hg. Temos que, Stab(h)={g ∈ G: gh=h} = {g ∈ G: g^{-1}hg=h}. Pela Equação de Classe, temos: |G| = |Z(G)| + ∑[G:Stab(h)], h ∈ A\Z(G), onde ∑[G:Stab(h)] = ∑|Orb(h)| = |G/N(H)| = [G:N(H)]. Como |Orb(h)| divide |G|, ∀h ∈ H, temos que [G:N(H)] é o número de subgrupos distintos de G.
Community: ALGEBRA I -2018

3 Answers


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3 months ago by
A equação de classe não está certa. \(Z(G)\) não são os pontos fixos da ação, mas sim \(Z(G) \cap H\) (pois a ação é em \(H\)). Além disso, no lado esquerdo da equação, é \(|H|\) no lugar de \(|G|\). O caso que você escreveu é o caso particular em que \(G\) age nele mesmo por conjugação (nesse caso, você agiu \(G\) em \(H\)).

Mais tarde, não entendi a afirmação de que \([G:Stab(h)] = G / N(H)\).

Tente fazer o seguinte: em vez de agir em \(H\), aja em \(X = \{K \leq G: H \subset K\}\) por conjugação: \(g \cdot K = gKg^{-1}\). Daí acho que nem precisa da equação de classe, apenas do teorema órbita-estabilizador.
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Minha sugestão é a seguinte: considera a ação de \(G\) em \( X= \{ \text{ subgrupos de } G\} \)(ou mais precisamente no grupo de permutações de \(X\)) dada por \( a \mapsto aKa^{-1}\).

Assim, o conjunto dos subgrupos distintos da forma \(aHa^{-1}\) é exatamente a órbita de \(H\) e o estabilizador de \(H\)  é exatamente o normalizador. Então use o teorema "órbita-estabilizador"
written 12 weeks ago by Roberto Alvarenga Jr.  
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É isso aí, roberto.

Inclusive a ação que eu defini em \(X = \{K \leq G : H \subset K\}\) não está bem definida, porque é possível conjugar um grupo que contém \(H\) e acabar com um que não contém. Então deveria ser \(X = \{K \leq G\}\) mesmo.
written 12 weeks ago by Estevão Lobo  

Estevão, acredito que se você apenas considerar a ação por conjugação em H já funciona, note que a quantidade de elementos da órbita vai dar exatamente os grupos gerados por conjugação e o estabilizador vai ser, por definição, o normalizador de H!

Depois, de fato, é só aplicar o teorema da órbita-estabilizador...

written 12 weeks ago by Lucas Destro  
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Na realidade acho que o correto seria agir sobre as classes $\frac{G}{H}$GH e só calcular o tamanho da órbita de H (trivial), neste caso o estabilizador de H será o normalizador de H. Mas tenho uma dúvida no final, pra calcular o tamanho da órbita de H, por quê você calcula só o índice $\left[G:N\left(H\right)\right]$[G:N(H)] e não a soma em cada uma das órbitas?
written 12 weeks ago by Lucas Destro  
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12 weeks ago by
Como forma alternativa pensei em mostrar que o mapa  $\phi$ϕ : gHg-1 $\rightarrow$ gN(H) é uma bijeção.
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Legal, Natália, parece mais simples.

Uma pergunta, como você mostrou que está bem definida? sobrejeção e injeção eu consegui fazer, mas boa-definição não vi uma forma fácil.

written 12 weeks ago by Estevão Lobo  
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Oi Estevão, vê se concorda com o que fiz.
Sejam g1, g2  $\in$ G, então g1Hg1-1 = g2Hg2-1   $\Leftrightarrow$  g2-1g1Hg1-1g2 = H  $\Leftrightarrow$ g2-1g1 $\in$ N(H)  $\Leftrightarrow$ a1N(H) = a2N(H)
written 12 weeks ago by Natália Porta  
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entendi! valeu, natália
written 12 weeks ago by Estevão Lobo  
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12 weeks ago by
Anonymous
Bom dia pessoal!

Com todas as dicas cheguei nessa possível solução. Por favor me corrijam caso percebam algo errado.

Considere a ação por conjugação GxH -> H dada por gh=ghg^{-1}.
Verifiquemos se de fato é ação: [demonstrado em sala -> consultar notas de aula]
Tome Φ: G/Stab(h) -> Orb(h) dada por gstab(h)=gh. Pelo Teo. Órbita-Estabilizador vimos que Φ está bem definida e que é bijetora, i.e., existe um isomorfismo entre G/Stab(h) e Orb(h) => |G/Stab(h)|=|Orb(h)|. Mas Stab(h)={g ∈ G: gh=h}={g ∈ G: ghg^{-1}=h}=N(H). Então |G/N(H)|=∑|Orb(h)|, h ∈ A, onde A é o conjunto formado por um representando de cada órbita da ação. Como |Orb(h)| divide |H|, temos que [G:N(H)] é o número de subgrupos distintos de G da forma gHg^{-1}.

Agradeço a todos =)
Não acho que dá pra afirmar que \(\phi\) está bem definida e é bijetora pelo teorema órbita-estabilizador. O teorema te dá que existe um isomorfismo, mas não te diz qual é, nem que qualquer um vai ser.

Mas, de fato, essa \(\phi\) aí é bijetora, haha.

Só que, mais adiante, você diz que \(Stab(h) = \{g \in G: ghg^{-1} = h\} = N(H)\). A primeira igualdade faz sentido, mas a segunda não. Na verdade, \(\{g \in G: ghg^{-1} = h\} = \{g \in G: gh = hg\} = C_G(h)\) (centralizador de \(h\) em \(G\)).  O normalizador de \(H\) seria \(N(H) = \{g \in G: gHg^{-1} = H\}\), por isso que não adianta agir em \(H\) mas sim em algum conjunto que tem \(H\) como elemento (exemplo: \(X = \{K : K\text{ subgrupo de }G\}\).

Daí pra frente também não entendi as implicações e de onde veio o somatório, mas acho que é necessário corrigir essas primeiras partes primeiro!
written 12 weeks ago by Estevão Lobo  
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