mostre que [G:H]=2,então H é subgrupo normal a G.


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3 months ago by
Anonymous
Tentei mostrar partindo que H é subgrupo normal a G,então, para todo g pertecente a G, gH = Hg.
Como [G:H]=2 -> G/H={ id,H} e a partir dai mostrar que é válida a condição de ser normal pela propriedade gH =Hg.
Está correto?
Community: ALGEBRA I -2018
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Você não pode usar que H é normal, porque é justamente o que você quer mostrar. Além disso, \(G/H = \{H, gH\} \) onde \(H\), nesse contexto, é a identidade, e \(g \notin H\). A ideia do exercício é essa, usar que só existem duas classes, então se \(gH \neq H\), temos que necessariamente \(Hg \neq H\), e aí concluir que eles tem que ser iguais.
written 3 months ago by Estevão Lobo  

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3 months ago by
Classes laterais particionam G.
O que queremos mostrar é que, se H é um subgrupo que tem exatamente metade dos elementos de G, então as classes laterais (esquerda e direita) são iguais.
Se há duas classes laterais, elas são o próprio H e a outra classe é $G-H=\left\{g\in G:g\notin H\right\}.$GH={gG:gH}.
Há duas possibilidades:
  1. $x\in H$xH
Daí,  $xH=H.$xH=H.
E  $Hx=H$Hx=H.
Logo, $Hx=xH.$Hx=xH.
       
        2.  $x\notin H.$xH.

Daí,
Partição em classes laterais à esquerda:  $xH\ne H\Rightarrow xH=G-H.$xHHxH=GH.   
Partição em classes laterais à direita:  $Hx\ne H\Rightarrow Hx=G-H.$HxHHx=GH.  
Então,  $Hx=xH.$Hx=xH.

Com isso terminamos. Para deixar as coisas mais claras: quando dizemos que G/H é um grupo de 2 elementos,
G/H tem os elementos( que são classes):  $H$H  e  $xH$xH . H é o elemento neutro desse Grupo e  $xH$xH  é o elemento de ordem 2.
Por que  $xH$xH  tem ordem 2?
Há dois casos,
  1.    $\left(xH\right)\left(xH\right)=x^2H=\left(xH\right)\Rightarrow\left(xH\right)=H$(xH)(xH)=x2H=(xH)(xH)=H    (cancelamento) Isso é um absurdo porque  $H$H  e  $\left(xH\right)$(xH) são duas classes distintas!
  2.    $\left(xH\right)\left(xH\right)=x^2H=\left(H\right)$(xH)(xH)=x2H=(H)   
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