Formalizar: No círculo \(\mathbb{S}^1\) o complementar de um conjunto conexo é conexo


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11 weeks ago by
Intuitivamente parece "fácil ver", mas até agora todas as minhas tentativas de formalizar isso não deram certo.

Parece ser um bom caminho eu utilizar a função:
\[
f: \left[0,2\pi\right] \rightarrow \mathbb{R}^2 \\
f\left(x\right) \mapsto \left( \cos x, \sin x \right)
\]
pois com ela eu consigo provar que \( \mathbb{S}^1 \) é conexo.

Essa resposta do José Carlos Santos parece a mais parecida com o que eu quero fazer, mas ela tá cheia de buracos que eu não consigo preencher. :/

1 Answer


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11 weeks ago by
E se você usar que o círculo é homeomorfo a \(\mathbb R \cup \{\infty\}\)?
Mas o problema é que me falta "linguagem" pra detalhar as coisas. Tipo o que são os conexos no círculo (um "intervalo") e como ele "dá a volta".
written 11 weeks ago by your significant otter  
Mas é isso que o meu comentário tenta ajudar: não dá para descrever completamente quem são os conexos em \(\mathbb R \cup \{\infty\}\)?
written 11 weeks ago by Leandro Aurichi  
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