Possível resolução para a 23


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5 months ago by

Estou tentando resolver o exercício 23, cheguei numa resolução meio duvidosa quee queria saber se está valendo:

Suponha \(G\) um grupo de ordem infinita com apenas \(N_1, ... ,N_n\) subgrupos não-triviais. Sendo \( N = \bigcup\limits_{i = 1}^{n}N_i\) temos dois possíveis casos, \(G \neq N\) ou \(G = N\).

Para o primeiro caso, dado um \(g \in G\backslash N: g \neq e \) temos que \( \langle g \rangle = G\) (pois se não seria um grupo não trivial, e todos estes já foram listados). Ora, mas então \(G\) é cíclico, logo todos \(N_i\) também são cíclicos. Então temos \(N_i = \langle g^j \rangle: 0 < i \leq n\) para algum  \(j \in \mathbb{N}\). Como a ordem de \(g\) é infinita, a ordem de \(g^j\) também deve ser, então todos \(N_i\) são de ordem infinita. Logo, fixemos um \(N_i\) e agora temos outro grupo infinito com \(m \leq n -1\) subgrupos não-triviais. Repetindo esse processo, como \(n\) é finito, uma hora chegaremos num \(S \leq G\) de ordem infinita tal que \(S\) não tem subgrupos não-triviais. Mas isso é absurdo, pois \(S = \langle g^s \rangle\) para algum \(s\), e \(\langle g^{2s} \rangle \leq S \) não-trivial.

Entretanto, temos o outro caso (onde \(G = N\)), que também  pode acontecer para algum subgrupo de \(G\) que estamos tomando (i.e, \(N_i\) é a união de todos subgrupos não-triviais de \(N_i\)). Mas se isso acontecer em qualquer etapa do processo, acabamos a prova, pois sendo \(G = N\), algum \(N_i\) deve ser infinito (pois \(G\) é infinito) e aí tomamos os \(m \leq n-1\) subgrupos não-triviais desse \(N_i\), até encontrarmos nosso \(S\) contraditório.

Community: ALGEBRA I -2018
Você disse que \(g \in G \backslash N\) e \(\langle g \rangle =G\)
Mas aí \(\langle g\rangle\) é subgrupo de \(G\), na verdade, nem precisávamos que \(\langle g \rangle =G\) e isso é uma contradição, pois se isso ocorre então \(\langle g\rangle\) não é nenhum dos subgrupos \(N_i\), já que ele não pertence a \(N\), e aí não seria subgrupo.
Lembre que o próprio grupo é um subgrupo dele mesmo.
written 5 months ago by Henrique Lecco  
Então, mas eu falei que \(N_1...N_n\) são subgrupos não triviais, então eu não tirei o \(G\), por isso que o \(\langle g \rangle\) tem que ser G.
written 5 months ago by Estevão Lobo  
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Certo. Confusão de notação, entendi subgrupos não triviais como aqueles que têm apenas o elemento neutro
written 5 months ago by Henrique Lecco  

1 Answer


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4 months ago by
Existe um grupo infinito com um número finito de subgrupos?
Não.

Um fato: G pode ser escrito como a União de seus subgrupos, i.e.,  $G=\cup_g_{\in G}$G=gG <g>.
Se G for infinito:
  • Ou G possui algum subgrupo infinito, a citar Z, e, portanto, esse subgrupo infinito conterá infinitos subgrupos. Consequentemente, G terá infinitos subgrupos;
  • Ou G possui um número infinito de subgrupos finitos (é o caso da questão 22).
Aproveitando, na questão 22, podemos tomar o conjunto das raízes n-ésimas em C. A resposta é sim.
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