Questão 26 - lista 5


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7 weeks ago by
Acho que o exercício 26 está faltando a hipótese de G ser abeliano. O que acham?
Community: ALGEBRA I -2018

2 Answers


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7 weeks ago by
Também acho. Não faz muito sentido não ser abeliano em meio a vários exercícios usando o Teorema dos grupos abelianos!
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7 weeks ago by

Minha resolução:

Seja G um grupo abelino com |G|=n.

(i) Se 10|n então n = 2$^i$i5 $^j$jk e G = Z$_{2^i}$2i x Z$_{5^j}$5j  x …

Existem elementos em G de ordem 2 e 5, suponha a,b, resp., temos o(ab)=10, i.e., G possui um elemento de ordem 10.

(ii) Agora, 9|n então n=3$^i$ik, observe que o contraexemplo a seguir:

|Z$_3$3 xZ $_6$6 |=18 e 9|18, mas Z$_3$3 xZ$_6$6  não possui elementos de ordem 9 (no máximo de ordem 6).

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Mas eu não poderia "abrir" esse Z6 em Z2 e Z3 e juntar os dos Z3 em um Z9?
written 7 weeks ago by Thaís Basso  

Olá, desculpa a demora para responder. Não sei se entendi bem sua dúvida. Vejamos duas possíveis respostas:

. Não podemos abrir aleatoriamente, pode acontecer de dar outro conjunto. Por exemplo,  $Z_4\ne Z_2xZ_2$Z4Z2xZ2 (inclusive caiu isso na P1).

. O exercício fala que não necessariamente  G tem um subgrupo cíclico de ordem 9. Por isso, basta mostrar que existe um grupo G que não satisfaz.

Espero ter ajudado, boa noite :)

written 6 weeks ago by Cláudia  
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Como você concluiu esse n=3ik? Para i=1 e k=2 isso não vale... Ou tem condições para i e k?
written 7 weeks ago by Thaís Basso  
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Coloquei isso para ficar mais claro, mas acho que não ajudou, desculpa :(

Bom, se: a divide b então b=ak, para k$\in$Z.

Neste caso, temos que 9|n, em particular, 3|n, então n=3k$_1$1. Como 9|(3k$_1$1) sabemos que 3|k$_1$1. (Por isso não podemos tomar k$_1$1=2).

É difícil pra eu explicar... qualquer dúvida, estou a disposição :)

written 6 weeks ago by Cláudia  
AAAAhh sim. Agora entendi.
written 6 weeks ago by Thaís Basso  
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