Dúvida em um isomorfismo. (ex 5 Cap. 3 Kunen Velho)


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7 months ago by

Considere a seguinte relação E \(\subset \omega \times \omega\) em \(\omega\): \(n\)E\(m\) se você escrever \(m\) em binário e na \(n\)-ésima casa da direita pra esquerda (começando do zero, claramente) tiver o digito 1. Exemplo: \(13\) em binário é \(1101\), logo, \(0\)E\(13\), \(\neg1\)E\(13\) etc.

O problema: Mostrar que \((\omega,E) \cong (V_{\omega},\in)\) (\(V_{\omega}\) é o universo de von Neumann).

O Aurichi deu a dica de definir o isomorfismo recursivamente, aí o que eu tentei fazer foi definir desse jeito:

\(\phi : V_{\omega} \to \omega\) dado por:

\(\phi(\emptyset) = 0\);

\(\phi(x+1) = \phi(x)+1\).

Aí teríamos que mostrar que se \(x \in y\), então \(\phi(x)\)E\(\phi(y)\).

Mas eu não tenho a menor ideia de como mostrar que isso é morfismo. O Renan deu a ideia de mostrar que eles tem a mesma cardinalidade e que ambos possuem as mesmas propriedades (acredito eu que mostrar que ambos são modelos pros mesmos axiomas de ZFC seja o suficiente (é verdadeira essa crença? Não manjo nada de modelos)), mas isso é verdadeiro? Porque o Aurichi me falou que \(V_{\omega}\) é modelo pra ZFC sem o axioma do infinito, mas e \(\omega\)? É modelo pra quê? Eu só achei coisas envolvendo aritmética de segunda ordem, e não sei a relação disso com ZFC além do que tá no wikipédia, e lá tá falando que a aritmética é mais fraca que ZFC, então eu realmente não sei como resolver isso.

Btw, é o exercício 5 do capítulo 3 do Kunen antigo.

Na real agora eu fiquei com outra dúvida: eu tava olhando \(x\) como ordinal, mas eu acho que isso é falso, então esse \(x+1\) não parece estar bem definido.

written 7 months ago by Evil Caio  

Ah, aparentemente o fato é válido, pois se \(x \in V_{\omega}\), então \(x \in V_{\alpha}\) para algum \(\alpha < \omega\). Logo, como \(V_{\alpha}\) é transitivo, então \(x \subset V_{\alpha}\), e com isso a gente consegue que \(x+1 \subset V_{\alpha}\) e portanto \(x+1 \in V_{\alpha+1} \subset V_{\omega}\). Não vi gap, então acho que o morfismo volta a estar bem definido. :p

written 7 months ago by Evil Caio  

Acho que está acontecendo alguma mistura aqui: você quer definir um morfismo entre \(V_\omega\) e \(\omega\). Ou seja, uma função bijetora que preserve as duas estruturas. Então o que você precisa é uma função \(\varphi\) tal que \(x \in y\) se, somente se, \(\varphi(x) E \varphi(y)\). Faz sentido?

E construir por indução seria defini-la passo a passo. Suponha que ela está definida para todos os elementos de \(V_n\) e estenda para os "novos" elementos de \(V_{n + 1}\). 

written 7 months ago by Leandro Aurichi  

Então, mas esse é um conceito que tá me deixando um pouco confuso. Porque tipo, o que seria \(\varphi(x \in y)\)? Como o \(\in\) é uma relação, então ele é um subconjunto do cartesiano, e esse \(x \in y\) seria um par ordenado de \(V_{\omega} \times V_{\omega}\), e não um elemento de \(V_{\omega}\) em si, então pra mim não faz muito sentido.

written 7 months ago by Evil Caio  

Ops, digitei errado. Agora acho que está melhor.

written 7 months ago by Leandro Aurichi  

Ou a sua \(\varphi\) é diferente da minha \(\phi\) e tá saindo de \(V_{\omega} \times V_{\omega}\) e chegando em \(\omega \times \omega\)?

written 7 months ago by Evil Caio  

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7 months ago by

A definição de isomorfismo que você descreveu está errada, o domínio dela não é \(V_\omega\) inteiro (eu gosto de chamá-lo de \(R(\omega)\)). Você tem que definir a função para cada \(R(n)\) (\(V_n\)) separadamente, via indução sobre \(n\). O segredo é que precisa valer a regra \(x\in y\ \leftrightarrow\ \phi(x)\mathbin{\mathrm{E}}\phi(y)\). Por exemplo, o número \(13=(1101)_2\) está \(\mathrm E\)-relacionado com \(0,2\) e \(3\), é como se 13 fosse o conjunto \(\{0,2,3\}\), assim, se você souber que \(x,y\) e \(z\) tiverem valores \(0,2\) e \(3\), então o valor do conjunto \(\{x,y,z\}\) será \(13\); este é o procedimento indutivo que você deve seguir.

O domínio da função vai variar a cada passo da indução? E se não está definida no domínio inteiro, então o exercício, pelo menos pra mim, não faz muito sentido, já que isomorfismo, até onde eu sei, só é válido se existe uma sobrejeção. E na verdade o \(R(\omega)\) é uma classe, certo? Então pode haver isomorfismo entre classes e conjuntos? Só me toquei disso agora.

written 7 months ago by Evil Caio  

\(R_\omega\) é conjunto (inclusive, é enumerável). 

A ideia é que você vai definir a função parcialmente a cada estágio da indução (a função final vai ser a junção de todos esses pedaços)

written 7 months ago by Leandro Aurichi  
Então a ideia é a que eu coloquei no comentário abaixo?
written 7 months ago by Evil Caio  

Ou o correto é criar uma função \(f : R(\omega) \to \omega\) dada por \(f(x) = g(x)\), onde \(g : R(n) \to \omega\) é definida recursivamente e existe por causa da indução?

written 7 months ago by Evil Caio  

Sim, para cada \(n\) você cria a função \(g_n:R(n)\rightarrow \omega\), por indução, definindo \(g_{n+1}\) por intermédio dos valores de \(g_n\). Dado \(x\in R(\omega)\), \(f(x)=g_m(x)\) para qualquer \(m\) tal que \(x\in R(m)\) (serão vários, então preocupe-se em assegurar que os valores de todos eles coincidem). Para fazer isso, você só precisa saber o fato que \(R(n+1)=\wp(R(n))\) e a ideia que expus nessa resposta.

written 7 months ago by Júnio Luan Pereira  
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