Questão 35 - Lista 4


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12 weeks ago by
Oi gente, comecei a fazer a questão 35 da lista 4, mas não consegui concluir, se alguém puder me ajudar.

"|D2n| = 2n, onde n é ímpar
D2n = {1, r, r2, ..., rn-1, f, fr, fr2, ..., frn-1}, onde o(r) = n e o(f) = 2 e frf = r-1
Como |r| = n ímpar, então todo g  $\in$ <r> temos que o(g) | n  $\Rightarrow$ o(g)  $\ne$ 2
Vamos provar que o(fri) = 2, para i = 1, ..., n-1"

Tentei usar o fato de que frf = r-1, mas não consegui terminar. Não sei se estou indo pelo caminho certo ou não.

Obrigada!
Community: ALGEBRA I -2018

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12 weeks ago by
Parece que você já fez basicamente tudo que precisava fazer!
De \(frf=r^{-1}\) você chega que \(fr^i=r^{n-i}f\)  (basta usar indução pra mostrar isso) e portanto \((fr^i)^{-1}=r^{n-i}f=fr^i\)
Daí temos que \(o(fr^i)=2 \ \forall 0 \leqslant i \leqslant n\) (note que o caso \(i=0\) é bem direto).

EDIT: mostrando que os \(2-\text{Sylows}\) são conjugados
Veja que pela estrutura do grupo, basta mostrar que todos os \(fr^i\) são conjugados.
De fato: tome \(fr^k\).
\((fr^k)(fr^i)(fr^k)^{-1}=(fr^k)(fr^i)(fr^k)=f r^k r^{-i} f f r^k=fr^{2k+-i}\)
Veja que, variando o \(k\) de \(0\) a \(n\), conseguimos todos os \(fr^j, 0 \leqslant j \leqslant n\), pois \(n\) é ímpar e portanto \(2k-i \equiv j \ \text{mod} \ n\) tem solução para qualquer \(j\) (isso acontece porque \(2\) e \(n\) são relativamente primos).
Desculpa se ficou confuso, acho meio difícil argumentar aritmética sem fazer uma bagunça hehe
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Oi Henrique! Deu pra entender bem =) Muito obrigada!!
written 12 weeks ago by Natália Porta  
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