Questão 8 - Lista 4


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3 months ago by
Oi gente :)

Alguém pode me dar uma dica da questão 8 da lista 4? Pensei em usar o teorema de burnside, mas não saiu.

Obrigada!
Community: ALGEBRA I -2018

3 Answers


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3 months ago by
É por Burnside mesmo. Lembre que se a ação é transitiva, então só tem uma órbita, logo por Burnside, temos que \(1 = \frac{1}{\vert G \vert}\sum_{g \in G} \vert Fix(g) \vert\), daí \(\sum_{g \in G} \vert Fix(g) \vert = |G|\). Note que o elemento neutro de \(G\) tem mais de um ponto fixo em \(X\) (na verdade, o \(X\) inteiro). Se você disser que todo elemento de \(G\) tem ponto fixo, então necessariamente \(\sum_{g \in G} \vert Fix(g) \vert > |G|\), mas pelo teorema de Burnside deveria ser exatamente \(|G|\)
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3 months ago by
Kadu  
Como a ação é transitiva, o nº de orbitas é unitário, dai você usa o teorema de Burnside, chegando que     $\sum_{g\text{ ∈}G}\left|Fix\left(g\right)\right|=\left|G\right|$g ∈G|Fix(g)|=|G| .
Agora, note que $Fix\left(e\right)=\left\{s\text{ ∈}S:es=s\right\}=S$Fix(e)={s ∈S:es=s}=S  , e com isso $\left|Fix\left(e\right)\right|=\left|S\right|\ge2$|Fix(e)|=|S|2 . Dai, podemos concluir que ∃ g  ∈ G tal que  $\left|Fix\left(g\right)\right|=0$|Fix(g)|=0 , porque caso contrário   $\sum_{g\text{ ∈}G}\left|Fix\left(g\right)\right|=\left|Fix\left(e\right)\right|+\sum_{g\text{ ∈}G\backslash\left\{e\right\}}\left|Fix\left(g\right)\right|>\left|G\right|$g ∈G|Fix(g)|=|Fix(e)|+g ∈G\{e}|Fix(g)|>|G|  ,
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3 months ago by
Muito obrigada, gente! =)
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