Outra questao da Lista 4


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5 months ago by

Determine a cardinalidade da órbita de
\[\begin{pmatrix}\overline 1& \overline 0\cr \overline 0& \overline 2
\end{pmatrix}
\]
na açao por conjugação em \(GL_2(\mathbb{F}_5)\).

Community: Algebra I-ICMC-2017

2 Answers


7
5 months ago by

Sabemos que #orb(x)= [G:Stab(x)] ,é mais fácil encontrarmos a ordem do estabilizador da matriz em questão,que levando em conta a ação por conjugação,são todas as matrizes M nesse grupo ,que comutam com a matriz do problema(pela definição de estabilizador).
Considere uma matriz de entradas arbitrárias e monte a operação AM=MA,quando igualar as entradas,coisas boas vão aparecer,duas delas vão ficar arbitrárias(o que é ótimo,pois sabemos o tamanho de F5  e podemos aplicar principio da contagem) ,e as outras duas vão ficar de análise bem trivial,assim,conseguimos a ordem de Stab(A),e como sabemos a ordem desse grupo por formulas ja apresentadas neste curso,facilmente sabemos o índice de Stab(A) ,calculando então a gloriosa cardinalidade da órbita  de A.

7
5 months ago by

Reescrevendo a solução do colega em \(\LaTeX\) pra treinar.

Faremos o cálculo da ordem de \(Stab(x)\) em que

\[  x = \begin{pmatrix}
           \overline 1 & \overline 0 \\
           \overline 0 & \overline 2 \\
        \end{pmatrix}\].

Temos que \(Stab(x) = \{y \in GL_2(\mathbb{F}_5): yx = xy\}\). Agora podemos escrever nossa matrix \(y\) como

\[y = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}\].

Queremos então encontrar todos os valores de \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) tais que

\[\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\overline 1 & \overline 0 \\
\overline 0 & \overline 2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\overline 1 & \overline 0 \\
\overline 0 & \overline 2 \\
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}\]

o que é equivalente a escrever

\[ \begin{pmatrix}
a & 2b \\
c & 2d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b \\
2c & 2d \\
\end{pmatrix}\]

o que implica que

\[ b = c = \overline 0 \]

e \(a\) e \(d\) são elementos não-nulos.

Como existem 4 elementos não-nulos em \(\mathbb{F}_5\), teremos então 16 possibilidades. Portanto \(|Stab(x)| = 16\). 

Lembremos que \(\# orb(x) = [G:Stab(x)] = |G/Stab(x)| = |G|/|Stab(x)|\).

Temos também que \(|GL_2(\mathbb{F}_5)| = (5^2 - 1)(5^2 - 5) = 24 * 20 = 480\)

Então teremos que \(\# orb(x) = 480/16 = 30\).

Perdão por eventuais erros em contas ou conceitos.

written 5 months ago by José Fernando Barbosa Boro  
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