Questão 1(d) da 1ª lista


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3 months ago by
Olá pessoal,

Alguém fez o item (d) da primeira questão? Estou com problemas para demonstrar duas coisas:

  • A enumerabilidade dos abertos do refinamento: Tentei usar cartas e conseguir alguma coisa com a base enumerável de \(\mathbb{R}^n\), mas não obtive sucesso.
  • O difeomorfismo \(W_i \rightarrow B_3(0)\): Novamente, tentei usar cartas, mas não consigo garantir, a priori, que o aberto em \(\mathbb{R}^n\) é homeomorfo a uma bola aberta. Por exemplo, com alguma topologia louca na variedade, as cartas poderiam ser homeomorfas a dois abertos desconexos (mas não consegui um exemplo).
Community: SMA5942

1 Answer


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3 months ago by
File attached: 2014-fall-230a-lecture-02-addendum.pdf (258.93 KB)

Esse arquivo ai prova que um espaço paracompacto com quantidade enumerável de componentes conexas admite o segundo axioma de enumerabilidade, e com isso dá pra provar que toda cobertura de M admite subcobertura enumerável.

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A dica que tem na lista para essa questão não parece ajudar muito. Inicialmente eu pensava que existia prova direta para

Paracompacto => Paracompacto com refinamento bacana,

 mas o único caminho que funcionou foi

Paracompacto + conexo => Base enumerável => Paracompacto com refinamento bacana.

Alguem conseguiu fazer uma prova direta?

written 3 months ago by Hugo Cattarucci Botós  
E sobre o difeomorfismo, conexidade é invariante topológico, então se vc começa com um aberto conexo na variedade, ele deve ser homeomorfo a um aberto conexo no euclidiano, que por si é homeomorfo à bola aberta
written 3 months ago by Gabriel Nogueira Malta  
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