Estendendo filtros artesanalmente


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4 months ago by
Há um exemplo simples para mostrar que, em geral, não é possível estender um filtro próprio a um ultrafiltro em enumeráveis passos?

Eu tentei o seguinte.

Considere o filtro de Fréchet em \(\omega\), i.e., a coleção dos subconjuntos cofinitos de \(\omega\), que chamaremos de \(\mathcal{F}\). Agora, se \((p_n:n\in\omega)\) é uma enumeração dos números primos, considere \(P_n:=\{m\cdot p_n:m\in\omega\}\) a coleção dos múltiplos de \(p_n\), para cada \(n\) natural.

É claro que para cada \(n\), tanto \(P_n\) quanto \(\omega\setminus P_n\) não pertencem ao filtro \(\mathcal{F}\).

Assim, podemos considerar
  • o filtro próprio \(\mathcal{F}_1\) gerado por \(\mathcal{F}\cup\{P_1\}\),
  • o filtro próprio \(\mathcal{F}_2\) gerado por \(\mathcal{F}_1\cup\{P_2\}\),
  • e assim por diante.
Agora, o filtro próprio \(\mathcal{F}_\omega:=\bigcup_{n\geq 1}\mathcal{F_n}\) é não maximal pois tanto \(P_0\) quanto \(\omega\setminus P_0\) não pertencem a \(\mathcal{F}_n\) para cada \(n\in\omega\).

Pergunta extra: a construção acima está correta?
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Acho que precisa especificar melhor o que é um passo.
Por exemplo, acho que dá para mostrar (como no seu exemplo) que não existe um ultrafiltro não principal com enumeráveis geradores.
written 4 months ago by Leandro Aurichi  
Bom, por "passo" eu entendi implicitamente o processo de acrescentar um gerador... Logo, se der para mostrar isso aí, dá para fazer algo bem mais legal do que eu queria. Obrigado pela sugestão.
written 4 months ago by Renan Maneli Mezabarba  
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Se der certo, poderia dar exercício(s) na wiki ;)
written 4 months ago by Leandro Aurichi  
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Temo no Kunen. Lema III.1.33, pág 164.
written 4 months ago by Guga  

1 Answer


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4 months ago by
Guga  
A construção parece estar certa, mas se eu adicionar o \(\mathcal{P}_0\) ao \(\mathcal{P}_{\omega}\) formaria um ultrafiltro? Porque aí teríamos enumeráveis passos...
E a pergunta é se é possível estender um filtro a um ultrafiltro em enumeráveis passos, mas você está fazendo uma construção específica, como você concluiria que não é possível estender em enumeráveis passos de outra forma?
Eu não quero concluir que nunca é possível, mas sim que "em geral, não é possível estender um filtro próprio a um ultrafiltro em enumeráveis passos", ou seja, que nem sempre dá certo. Para isso, mostrar uma extensão em enumeráveis passos que não resulta num ultrafiltro já seria suficiente, certo?
written 4 months ago by Renan Maneli Mezabarba  
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eu interpretei o "não é possível..." como "não importa o que você tente, nunca vai dar certo em enumeráveis passos". Pra mim a pergunta então seria se existe alguma extensão em não enumeráveis passos (que não seja ficar adicionando um conjunto que já está na extensão não enumeráveis vezes :p).
Mas entendi agora...
written 4 months ago by Guga  
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