Lista 3 - Exercício 10


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5 months ago by
Eu estava trabalhando no exercício 10 da lista 3, mas esbarrei em um problema que não sei exatamente como contornar. Talvez a resposta seja meio trivial, mas ainda não tive a visão além do alcance para enxergá-la, por isso vim aqui pedir uma ajuda.

O exercício afirma que se uma cônica irredutível possui um ponto \(K\)-racional, sendo \(K\) um corpo qualquer, então ela é projetivamente equivalente à cônica \(xy+xz+yz=0\).

A dúvida é a seguinte, completando quadrados podemos ver que a cônica \(xy+xz+yz=0\) é projetivamente equivalente à cônica \(x^2-y^2-z^2\).

Se completarmos quadrados para a cônica \(x^2+2xy+y^2+yz=0\), que é irredutível em corpos de característica diferente de 2 e contém o ponto \((0:0:1)\), podemos ver que ela é projetivamente equivalente à cônica \(x^2-y^2+z^2=0\). Assim, pela afirmação do enunciado, valeria que as cônicas \(x^2-y^2-z^2=0\) e \(x^2-y^2+z^2=0\) seriam projetivamente equivalente sobre qualquer corpo (de característica diferente de 2). Mas isso é verdadeiro? Intuitivamente me parece que os sinais negativos causariam alguns problemas caso tentássemos achar alguma projetividade sobre corpos não algebricamente fechados.

Para dar uma melhor contextualização da dúvida, eu estava analisando o processo de diagonalizar cônicas da forma \[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dxz+Eyz=0,\] no caso específico em que \(C=\frac{B^2}{4A}\), e quando fui analisar o exemplo da cônica \(x^2+2xy+y^2+yz=0\), que é dessa forma que citei, o problema apareceu.

OBS 1: Só pra ter certeza, eu chequei os "completamentos de quadrados" (várias vezes) usando a função DiagonalForm do Magma Calculator e as contas parecem corretas.
OBS 2: Perdão caso a pergunta seja muito trivial :)

1 Answer


3

Essas cônicas são projetivamente equivalentes. De fato, são equivalentes por afinidade. Se considerarmos as desomogenizações, temos:

\[\mathcal{C}: x^2 - y^2 = 1\]
\[
\mathcal{D}: x^2 - y^2 = -1 \implies y^2 - x^2 = 1
\]

Agora, afinidade \((x,y)\mapsto (y,x)\) faz o serviço de levar uma cônica na outra.

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Alternativamente, observe que a conica  \(x^2-y^2-z^2=0\) é o mesmo que \(-x^2+y^2+z^2=0\)

 

written 5 months ago by Herivelto Borges  
Um fato que pode ajudar  no exercício 10 da lista 3 é o exercício 7 da mesma  lista.
written 5 months ago by Herivelto Borges  
Obrigado, pessoal. Acho que acabou sendo uma pergunta trivial mesmo...
written 5 months ago by Edmundo Martins  
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