Prova de que (Z/<p>)^x é cíclico


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5 weeks ago by

Lembro de ter visto em algum lugar que o grupo \(\left( \frac{\mathbb{Z}}{\langle p \rangle} \right)^{\times}\) com \(p\) primo é cíclico. Pensei em alguma forma de provar isso e cheguei no seguinte:

Suponha que não. Então temos que para todo \(x\) tal que \(1 < x < p\), \(x^n \equiv 1 \mod p\) para algum \(n < p-1\). Escolhemos \(n\) o menor natural positivo com essa propriedade (isto é, \(n\) é a ordem de \(x\) em \(\left( \frac{\mathbb{Z}}{\langle p \rangle} \right)^{\times}\)). Como \(x < p\), é claro que \(p \nmid x\). Podemos então usar o pequeno teorema de Fermat para dizer que \(x^{p-1} \equiv 1 \mod p\). Por transitividade temos que \(x^n \equiv x^{p-1} \mod p\). Dividindo os dois lados por \(x^n\) (podemos fazer isso pois \(x^n \nmid p\) já que \(x^n \equiv 1 \mod p\)) temos que \(1 \equiv x^{p - n -1}\), como \(n\) era o menor natural com essa propriedade temos que \(p - n - 1 = 0 \implies n = p - 1\) contradição com a nossa hipótese de que \(x\) não gera o grupo. Concluímos que \(\left( \frac{\mathbb{Z}}{\langle p \rangle} \right)^{\times}\) com \(p\) primo é cíclico.

EDIT: Tá errado.

Community: ALGEBRA I -2018
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Tem algumas coisas que eu não entendi no seu argumento. Primeiro você define \(n\) como o menor natural (menor que \(p-1\), tal que \(\forall x,\ x^n \equiv 1 \mod p \), e depois diz que \(o(x) = n\). Esse \(x\) é algum cara específico ou ainda estamos falando para todo \(x > 1\)? Também não entendi porque a escolha de \(n\) como o menor natural com essa propriedade implica que \(p - n - 1 = 0\). Poderia esclarecer?
written 5 weeks ago by Cezar Guimarães  
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Sim! Eu peguei um \(1 < x < p\) qualquer, ou seja, um elemento não-trivial de \(\left( \frac{\mathbb{Z}}{\langle p \rangle} \right)^{\times}\) e fixei. Daí esse \(n\) vai ser a ordem de \(x\), já que é o menor tal que \(x^n \equiv 1 \mod p\). A implicação, na real, não acho que seja verdadeira. O que dá pra concluir é que ser que \( n \mid p - n -1 \), mas acho que isso não leva em lugar nenhum.
written 5 weeks ago by Estevão Lobo  

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