Questão 15 - Lista 3


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3 months ago by
Alguma dica para o 15? Não consegui nem começar :(

Obrigada!
Community: ALGEBRA I -2018

4 Answers


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3 months ago by
\(G'\) é normal pois:

Dado \(x \in g\,G'g^{-1}, \,\, x = gg'g^{-1}\) para algum \(g' \in G'\). Então \( x = gg'g^{-1} = gg'g^{-1}(g'^{-1}g') = (gg'g^{-1}(g'^{-1})g' \).

Daí pra frente acho que dá pra concluir.  A parte de que \(G / G'\) é abeliano sai por um raciocínio parecido, embora um pouquinho mais 'shady' (pelo menos do jeito que eu fiz). A parte de que é minimal, se você não conseguir fazer, eu posso dar uma outra dica :)
Na parte do minimal daria pra fazer por Teorema da Correspondência!?
written 3 months ago by Thaís Basso  
não pensei nisso, mas agora me parece que sim
written 3 months ago by Estevão Lobo  
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3 months ago by
Muito obrigada por todas as repostas, galera! Ajudou muito, eu tava realmente bem perdida nesse exercício.
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3 months ago by
Foi o meio que pensei em como como chegar a G'<H.
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3 months ago by
Anonymous
Com todas as dicas (agradeço a todos), pesquisas e quebrando a cabeça cheguei nessa possível solução (menos provar que G'<H). Não estou seguro quanto a tudo que fiz, então estou colocando aqui para que vcs me deem suas opiniões, por favor.

Relembrando: <S> = {todos os elementos de G que podem ser expressos como produto de elementos de S}, onde S é um subconjunto não vazio de G.

1º) Mostrando que gG'g^(-1) ⊆ G
Temos que <s>=<x1,x2,...,xn>, onde xi=x1.x2...xn e x1,x2,...,xn ∈ S. Tome g ∈ G e xi ∈ <S>=G', temos que gxig^-1=(gx1g^-1)(gx2g^-1)...(gxng^-1). Como gxig^-1 ∈ <S>, então gxig^-1 ∈ G, logo gG'g^(-1) ⊆ G. Por tanto G' é normal em G.

2º) Mostrando que G/G' é abeliano
Temos que G'=<s> subgrupo normal de G. Sejam aG', bG' ∈ G/G', então (aG')*(bG')=(ab)*G'=[(bab^-1a^-1)(ab)]*G'=[(ba)(b^-1a^-1ab)]*G' = (ba)*G'. Por tanto G/G' é abeliano.
Nesta passagem, [(bab^-1a^-1)(ab)]*G', estou inseguro, pois me parece que estou "roubando" para chegar onde preciso. O correto não seria multiplicar dos dois lados? P. ex.: [(bab^-1a^-1)(ab)]*G' = [(bab^-1a^-1)(ba)]*G' e chegar em (ab)*G' = (ba)*G'. Mas se faço isso não dá bom :(

3º) Mostrando que G'<H
Ainda não saiu!
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Para a primeira parte, cuidado ! Não estamos supondo que o grupo seja finito. Uma solução boa é a que escreveu Estevão acima. Na parte dois, de fato o que você escreveu não está preciso. Observe que \(ab=ba\) no quociente \(G/G'\) se, e somente se, \(aba^{-1}b^{-1} \in \G' \) o que é imediato. Portanto o quociente é abeliano. Para a minimalidade de \(G'\) você pode usar o mesmo argumento, pois se \(H\) é normal em \(G\) tal que \(G/H\) seja abeliano, então \(aba^{-1}b^{-1} \in H, \forall  a,b \in G\). Então \(S \subset H\) o que implica \(G' < H.\)
written 3 months ago by Roberto Alvarenga Jr.  
Muito bom Roberto, me ajudou! Obrigada.
written 3 months ago by Cláudia  
Pra parte que é abeliano, eu fiz assim: Temos (ab)*G' = (abb^-1a^-1ba)*G' = (ba)*G'. Como esse cara b^-1a^-1ba é um elemento de G' logo ele não altera G' em si, então se pela definição do gerado por S tomamos x=b^-1 e y=a^-1 temos o que queríamos
written 3 months ago by Ivan Tagliaferro de Oliveira Tezoto  
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