exercício 25 - lista 4


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12 weeks ago by
Olá, alguma dica para esse exercício por favor? não consegui juntar as informações do exercício com
os teoremas dE Sylow p obter o resultado...
Community: ALGEBRA I -2018

2 Answers


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12 weeks ago by
|G|=2 mod 4 => |G|-2=4k => |G|=4k+2=2(2k+1), como 2k+1 é ímpar, 2-sylow de p tem tamanho 2, logo é abeliano e gerado por g em G tal que o(g)=2. Mas como G é abeliano todo subgrupo é normal, e p-sylows são todos conjugados, logo, existe apenas um 2-sylow, ou seja, este g é único.
Suponha que existam dois, g' e g" tais que g' é diferente de g" e o(g')=o(g")=2.
<g', g"> é subgrupo de G e como G é abeliano,
|<g',g">|=4, mas 4 não divide |G|, logo absurdo.
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Muito Obrigado Cláudia!!
written 12 weeks ago by Neto Figueira  
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12 weeks ago by
Esse exercício pode facilmente ser resolvido sem invocar Sylow, pois |G|=2 mod 4 =>|G|=p, sendo p um par, assim resta mostrar que existe um único elemento de ordem 2 para um grupo de ordem par, esse demonstração é um exercício da lista 1 e já foi respondida aqui no fórum.
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Willian, muito boa a sua ideia. A respeito do exercício da lista 1, se eu não me engane, fala que existe um elemento de ordem 2 e não diz nada sobre ser único.
written 12 weeks ago by Cláudia  
Bem observado, obrigado! A unicidade deve ser demonstrada análogo ao seu jeito mesmo.
written 12 weeks ago by Willian Falcão de Souza  
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