Questão majorantes - P1


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6 weeks ago by
Será que alguém pode me ajudar nessa questão.

Considere  A ⊂ R não vazio que admite majorante e minorante. Seja S = { s: s é majorante de A } e I = { i: i é minorante de A }. Se S∪I é um intervalo, mostre que  A é unitário.

Primeira dúvida: Porque que SUI é um intervalo.

Segunda dúvida: Como mostrar que A é unitário.

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6 weeks ago by
Em relação a primeira dúvida, creio que SUI não seja sempre um intervalo, entretanto é a hipótese do problema. Acho que para resolvê-o devemos supor que SUI seja um intervalo.
Em relação a segunda dúvida, pensei em revolver por contradição, suponha que A não é unitário, então existem pelo menos 2 elementos em A(vamos chama-los de a1 e a2 onde a1<a2). Nesse caso o conjunto S seriam todos os R maiores que a2 e o conjunto I seriam todos os R menores que a1, e a união SUI seriam todos os R maiores que a2 unidos com os R menores que a1, porém esse conjunto não satisfaz a definição de intervalo, pois existe(por exemplo) o número (a1+a2)/2, que está entre a1 e a2 e não está em SUI. Espero ter ajudado
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