Questão 15 lista 1.Onde se encaixa o projetivo?


144
views
1
3 months ago by

Pessoal, acidentalmente deletei a pergunta que tinha feito. Sorry. Essencialmente eu perguntava como se resolvia a questão 15.

Eu afirmava que os círculos vinham da intersecção de planos com \(\mathbb S^2\) e que esses planos eram dados por

\[\ t\gamma + \{x\in \mathbb R^3: \langle x, \gamma \rangle=0\},\]
onde \((t,\gamma)\in [0,1] \times \mathbb S^2\).

Eu tinha afirmado que o espaço dos círculos era dado portanto por \([0,1] \times \mathbb S^2\).

Tinha perguntado o que isso tinha a ver com o projetivo.

Community: SMA5942
Será que ele não quis dizer o espaço de grandes círculos (os planos tem que passar pela origem)?
written 3 months ago by Vinícius Novelli  
Hummm, é verdade. Não tinha pensado nisso. Thx
written 3 months ago by Hugo Cattarucci Botós  
1
Inclusive minha caracterização dos circulos está errada. Para t=0 os pontos \((0,\gamma)\) e \((0,-\gamma)\) representam o mesmo plano (e daí aparece o projetivo).
written 3 months ago by Hugo Cattarucci Botós  
1
Boa! Quando você escreveu \([0,1]\times\mathbb S^2\) estava quase chegando na resposta ... exceto que tem que quocientar um pouquinho! Fique a vontade para escrever uma resposta para sua própria pergunta, pois parece que você já resolveu o exercício :) (E, apenas para enfatizar, não é o espaço de grandes círculos, é o espaço de círculos mesmo, ou seja, de interseções da esfera com planos.)
written 3 months ago by Carlos Henrique Grossi Ferreira  

1 Answer


4
3 months ago by

Round 2.

Um plano que intersecta \(\mathbb S^2\) formando um círculo é dado pela expressão
\[\Pi(t,\gamma) = t\gamma + \{x\in \mathbb R^3: \langle x, \gamma \rangle=0\},\]
onde \((t,\gamma)\in (-1,1) \times \mathbb S^2\). Seja \(\Lambda\) o espaço desses planos.

Considere a aplicação \(f:\mathbb P^3 \setminus [(1,0,0,0)] \to \Lambda\) dada por
\[f[(t,\beta)] = \Pi(t,(1-t^2)^{-1}\beta).\]

Repare que a aplicação está bem definida por duas razões: 1) Temos \(t^2 + |\beta|^2 = 1\) e portanto \(-1< t < 1\) e \((1-t^2)^{-1}|\beta| =1\); 2) \(\Pi(-t,-\gamma) = \Pi(t,\gamma)\) para quaisquer \((t,\gamma)\in (-1,1)\times \mathbb S^2\).

Além disso, \(f\) é invertível com inversa \(g(\Pi(t,\gamma)) = [(t,(1-t^2)\gamma)]\).

Assim, o espaço de círculos em \(\mathbb S^2\) é o projetivo 3-dimensional furado.

É interessante ver também que o espaço dos círculos grandes é dado por \(\mathbb P^2\) dentro de \(\mathbb P^3\setminus [(1,0,0,0)]\). De fato, basta considerar o mergulho \(\mathbb P^2 \ni [\gamma] \mapsto [(0,\gamma)]\in \mathbb P^3 \setminus [(1,0,0,0)]\).
Quando você afirmou que $t^2 +|\beta|^2 = 1$, você está supondo que o plano projetivo é obtido através do quociente da esfera pelos pontos antípodas? Caso não seja isso, por que vale a igualdade acima?
written 11 weeks ago by Carlos Ronchi  
Sim, estou supondo que o projetivo vem do quociente da esfera.
written 11 weeks ago by Hugo Cattarucci Botós  
Please login to add an answer/comment or follow this question.

Similar posts:
Search »