Exercicio da aula: Equivalência para grupos finitos soluveis


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No começo da ultima aula, foi proposto o exercicio: Se \( |G| < \infty \), temos que:

\( G \) é solúvel \( \iff \) Existe cadeia \( \{ e \} = G_0 \triangleleft G_1 \triangleleft ... \triangleleft G_{n-1} \triangleleft G_n = G \), tal que \( |\frac{G_{i+1}}{G_i} | = p_i \), onde \( p_i\) é um primo.

A volta é clara pra mim ( Todo grupo de ordem prima é cíclico, logo abeliano ), e na ida a dica era fazer uma indução. Mas não entendi como farei a indução, e encontrei outros problemas:

(i) O numero 1 é considerado primo neste caso? Se não, não podemos começar a indução de um grupo de ordem 2.

(ii) Fazer uma indução no tamanho do grupo ou no numero de primos da fatoração?

Alguem tem alguma dica sobre a proposição \( p(n) \) na qual vou fazer a indução?

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7 days ago by
Anonymous

Uma dica: Tente primeiro mostrar o seguinte

 

  • Seja \(G\) um grupo finito, \(H\) e \(K\) dois subgrupos de \(G\) tais que \(K\triangleleft H\) e \(\frac{H}{K}\) é abeliano, então existe uma cadeia da forma

\[K=H_o\triangleleft H_1 \triangleleft \ldots \triangleleft H_m = H\]

 

tal que \(|\frac{H_{i+1}}{H_i}| = p_i\), \(i=0,\ldots ,m-1\), com \(p_i\) primo.

 

Para mostrar isso use Cauchy e o Teorema da Correspondência.

 

Veja se isso ajuda.

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