Exercício 7.6.20


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5 months ago by
Olá,

Estou com problemas com o Exercício 7.6.20.

Com a normalidade de paracompactos Hausdorff, consegui separar os fechados da família discreta por abertos, mas estou com problemas para fazer esses abertos disjuntos.

Alguém conseguiu resolver?

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5 months ago by
Fiz de um jeito um pouco feio tentando seguir a demonstração de paracompacto Hausdorff é normal, deve ter um jeito melhor.

Seja X o espaço dado. Paracompacto de Hausdorff é regular logo, para cada \( x\in F_i \), existe aberto V tal que \( x \in V\) e \( \overline {V}\cap F_j = \emptyset \) se \( i \neq j \) (Exercício 7.6.17.), para todo i. Variando os x, obtemos cobertura aberta de todos os \( F_i \), que portanto, admite refinamento aberto localmente finito \( \{ W_s : s\in S \} \).

Temos que cada \( W_s \cap F_i \neq \emptyset \) para  algum i e \(W_s \cap F_j \) para \( i \neq j\). Fixe um \(i \in I \).

Unindo todos os \(W_s \) que intersectam \( F_i \), obtemos aberto \( V_i \) que cobre \( F_i \).

Unindo todos os \( \overline{W_s} \) que não intersectam \( F_i \), temos pelo Lema 7.6.6. um fechado \( G_i \) tal que \( F_j \subset G_i \) se \( i \neq j \) e \( G_i \cap F_i = \emptyset \).

Como paracompacto de Hausdorff é normal, existe aberto \( A_i \) tal que \( F_i \subset A_i \subset \overline{A_i} \subset (X \setminus G_i)\cap V_i\).

Veja que os \( A_i \) são dois a dois disjuntos pois, para \( i \neq j \), \( A_i \subset V_i\subset G_j \) e \( A_j \subset X\setminus G_j \).
Pior que pensei em alguma coisa parecida, mas travei depois da união dos \(W_s\) porque não lembrei que \( \overline{W_s}\)  formava família localmente finita também. Valeu!

PS: No segundo parágrafo, acho que não precisa ser \( \overline{V}\), poderia ser \( V \) mesmo.
written 5 months ago by Guilherme Nakassima  
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