Lista 1: 1(a)


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4 months ago by
Anonymous

1. Considere \(X\) = {a,b,c,d} e \(\tau \) ={ \( \emptyset\) {a}, {b,c}, {a,b,c}, {b,c,d}, {a,b,c,d} }.

       (a) Mostre que \( \tau \) é uma topologia sobre \(X\).

             Quando eu for verificar a condição de topologia:

             (ii) Se \(A, B \in \tau \), então \( A \cap B \in \tau \).

             Eu preciso verificar se todas as interseções dos subconjuntos de \( \tau \) estão em \( \tau \)?

             Tipo, {\(\emptyset\)} \(\cap\) {a}, { \(\emptyset\) } \(\cap\) {b,c}, ..., {b,c} \(\cap\) {a}, {b,c} \(\cap\) {a,b,c}...

             É isso mesmo produção?

Sim. Você tem que verificar que \(A \cap B\) pertence a \(\tau\) para todos os possíveis \(A,B\) em \(\tau\).
written 4 months ago by Hugo Cattarucci Botós  
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Que coisa braçal, poxa.
written 4 months ago by Felipe Moura Ferreira  
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Usando um pouco de lógica, você só precisa verificar 3 interseções na mão...
written 4 months ago by Lucas Chiozini  
Provavelmente vai ser a última vez que você vai fazer isso "no braço"
E se você já entendeu o espírito da coisa, vá para o próximo ;)
written 4 months ago by Leandro Aurichi  
Só um cuidado no que você escreveu: não é exatamente \(\{\emptyset\} \cap \{a\}\) que precisa ser verificado, mas sim \(\emptyset \cap \{a\}\).
(para variar é o vazio criando encrenca)
written 4 months ago by Leandro Aurichi  

3 Answers


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4 months ago by

Acredito que nessa questão não há maneira de escapar da prova por exaustão, isto é, da força bruta.

Então vamos ter que pegar dois conjuntos quaisquer em $$ \( \tau \) e verificar que a união e interseção deles também está em \( \tau \).

Note que no caso da união, pela definição de topologia, deveríamos checar que qualquer tipo de união de elementos de   \( \tau \) também pertence à  \( \tau \) (possivelmente uma união infinita), mas como  \( \tau \) é finito, então basta mostrar para a união de dois elementos!

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4 months ago by

Agora eu estou tentando verificar condição:

             (iii) Se \(\mathcal{A}\) é uma família de elementos \( \tau \), então \( \bigcup_{A \in \mathcal{A} } \in \tau\).

             Eu preciso verificar se todas as uniões da família estão em \( \tau \)?

             Por exemplo, {{a},{b,c}} pode ser uma família de \(\tau\)? Eu não entendi bem esse conceito, não sei como usar.

             Na lista de apoio, no exercício 10, família é o conjunto com os índices dos conjuntos que eu vou unir?

            

Sim, família aqui é no sentido de um subconjunto de \(\tau\). Ou seja, você tem que encontrar a união de cada subconjunto de \(\tau\). E \(\{\{a\},\{b,c\}\}\subset\tau\).
written 4 months ago by Lucas Chiozini  
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4 months ago by
Anonymous
Gente, eu só estou conseguindo verificar que é uma topologia, fazendo uns rascunhos. Mostrar formalmente que é uma topologia eu não consigo.
Provavelmente é só tentar escrever "sem medo": a segunda condição diz que se duas coisas são abertos, então a intersecção destes dois também tem que ser aberto. Ou seja, você tem que verificar que dados dois dos 6 abertos, a intersecção deles também é um dos 6 (e fazer isso com todos os pares possíveis). Por exemplo: pegando dois deles: \(\{a, b, c\}\) e \(\{b, c, d\}\). Temos \(\{a, b, c\} \cap \{b, c, d\} = \{b, c\}\). Como \(\{b, c\}\) também é um dos abertos, tudo certo. 


PS - Eu acho que a coisa fica mais organizada se novas perguntas forem feitas em novos posts (do jeito que está aqui, temos duas novas perguntas como respostas para uma pergunta original (e mais um monte de comentários)). 
written 4 months ago by Leandro Aurichi  
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