Um detalhe no Lema de Burnside


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7 months ago by

No final da prova do Lema de Burnside, nos deparamos com o seguinte fato:

\[\sum\limits_{x\in X}\frac{1}{|orb(x)|}= \text{ número de órbitas }\]

Alguém pode explicar o porquê da igualdade acima?

Community: Algebra I-ICMC-2017

1 Answer


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7 months ago by

Suponha que uma partição do grupo pelas órbitas seja o mapa de um país,digamos...Brasil.
Se você é mineiro,você está na classe dos mineiros,e você representa MG.
O numero de órbitas ,será igual ao numero de estados do Brasil,assim nós temos que você representa você mesmo e mais toda a população restante de MG,que chamaremos de P,ou seja,existem P pessoas na sua órbita.O mesmo vale se tomarmos outra pessoa diferente de você(qualquer pessoa,sem preconceitos),então existem P pessoas na orbita de qualquer pessoa.Note que se somarmos o inverso da  cardinalidade da órbita de um mineiro ,percorrendo todos os mineiros,teremos  : 1/p+...1/p (p vezes) ,o que resulta em 1.Percorremos uma órbita(um estado) e o resultado deu 1....,se percorrermos duas(dois estados),o resultado vai dar 2,se percorrermos todo o País,o resultado vai dar exatamente o numero de estados,que em nossa analogia significa o numero de órbitas.


Caro(a) PulgaAtrasDaOrelha, 

Parabens pela criatividade da sua explicacao!!

written 7 months ago by Herivelto Borges  
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