Questão 23 da lista 4


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4 weeks ago by
Anonymous

Seja \(p\) primo e seja \(H\) um p-subgrupo do grupo finito \(G\). Mostre que
\[[N(H) : H] ≡ [G : H] (mod p)\]

Lembro que a questão foi resolvida em sala, mas não consigo voltar ao resultado. Até agora, a ação de \(H\) em \(\frac{G}{H}\) mas fiquei confuso sobre o que é o \(Stab(aH)\), (seria \(H \cap aHa^{-1}\)?) e de alguma forma que acho que entendi apenas brevemente, concluí que o número de conjugados de H é \([N_g(H) : H]\), daí pra frente não sei pra onde correr. Alguém poderia ajudar com uma dica e/ou uma correção?

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Ajuda olhar o conjunto de pontos fixos da ação. Este que será precisamente [\( N_g(H) : H\). Então, usar a fórmula dos pontos fixos (porque H é um p-grupo).
written 4 weeks ago by Felipe César Freitas Monteiro  

1 Answer


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4 weeks ago by

Um bom jeito de ter uma intuição para como resolver este problema é olhar a congruência da seguinte forma:

\[\left\vert \frac{G}{H} \right\vert \equiv \left\vert \frac{N(H)}{H} \right\vert (mod p)\]

Essa relação lembra muito a relação que obtivemos quando agimos com um p-grupo qualquer, \(P\), sobre um conjunto finito \(X\), denotando por \(X^P\) o conjunto dos pontos fixos tinhamos que

\[\vert X \vert \equiv \vert X^p \vert (mod p) \]

 

O "natural" a se tentar neste caso é tomar \(X = G/H\) e deixar \(H\) agir sobre este conjunto, pois H é um p-grupo. A ação que tomamos então é:

\[ H\times G/H \rightarrow G/H\]

\[ (h,aH)\mapsto haH\]

 

Agora com H é p-grupo, temos que

\[\left\vert \frac{G}{H} \right\vert \equiv \left\vert  \left(\frac{G}{H}\right)^H \right\vert (mod p)\]

 

na qual \(\left(\frac{G}{H}\right)^H\) são os pontos fixos da ação. Analisando quais são os pontos fixos dessa ação você obtem que \(\left(\frac{G}{H}\right)^H = \frac{N(H)}{H}\). Então temos o resultado.

 

 

 

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