Lista 2- Sugestões de Exercícios


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3 months ago by
Bom, acho que o fórum é um lugar adequado para sugerirmos novos exercícios além de tirarmos dúvidas, então resolvi fazer essa postagem com algumas ideias de exercícios que estejam relacionados com o conteúdo que foi abordado na lista 2. Peço por favor que façam comentários caso encontrem algum erro nos enunciados, ou caso queiram adicionar mais detalhes ou novos exercícios. A ideia realmente é propor algumas ideias legais que possam ser úteis depois e que sirvam para dar uma ressuscitada no fórum :).

O objetivo desses exercícios é motivar a noção de topologia induzida em um subespaço, que imagino que será introduzida em breve em outras listas.

Exercício 0) Mostre que toda bola aberta em um espaço métrico \((X,d)\) é aberta com relação à topologia induzida pela métrica (veja a Definição 2 na lista).

Exercício 1) Seja \((X,d)\) um espaço métrico (veja Definição 1) e considere \(Y \subset X\) um subconjunto não-vazio do espaço. Considere \(d \vert_{Y}\) como sendo a restrição da métrica \(d\) ao subconjunto \(Y\), ou seja, a função dada por
\begin{align*}
d \vert_{Y}: Y \times Y &\longrightarrow \mathbb{R}\\
(y_1,y_2) &\longmapsto d(y_1,y_2).
\end{align*}
Mostre que \(d \vert_{Y}\) é uma métrica no conjunto \(Y\).

O exercício acima não é muito emocionante, todas as propriedades sairão do fato de que a métrica em \(Y\) é obtida a partir de uma função que já é uma métrica no espaço todo. Chamamos \(d \vert_{Y}\) de métrica induzida.

Exercício 2) Seja \((X,d)\) um espaço métrico e \(Y \subset X\) um subconjunto de tal espaço munido da métrica induzida apresentada no exercício. Mostre que toda bola aberta em \(Y\) (ou seja, uma bola considerando a métrica induzida) é dada pela interseção de uma bola aberta em \(X\) (ou seja, com a métrica do espaço todo) com o conjunto \(Y\).

Agora que já vimos que todo subconjunto de um espaço métrico pode ser tratado também como um espaço métrico, podemos dar uma estrutura topológica a um subconjunto de um espaço métrico usando sua métrica induzida. Mais explicitamente, se \(Y\) é subconjunto de um espaço métrico \((X,d)\), diremos que um conjunto \(U \subset Y\) é aberto em \(Y\) se para todo \(x \in U\) existir um \(r>0\) tal que \(B_r(x) \subset U\), lembrando apenas que essa bola está definida com relação à métrica induzida em  \(Y\).

Exercício 3) Novamente, seja \((X,d)\) um espaço métrico e \(Y\) um subconjunto desse espaço, munido da métrica induzida \(d_Y\) e da topologia induzida por essa métrica. Mostre que um subconjunto \(U \subset Y\) é aberto em \(Y\) se, e somente se, existe um subconjunto \(V \subset X\) aberto em \(X\) tal que \(U = V \cap Y\).

A conclusão do exercício acima é que todos os abertos de um subconjunto de um espaço métrico podem ser obtido a partir de abertos do espaço métrico como um todo.

Para pensar: olhe com carinho para o último exercício e para a observação logo acima. Agora imagine que você tem nas suas mãos um espaço topológico \((X,\tau)\) e um subconjunto \(Y \subset X\) desse espaço. Buscando inspiração nos exercícios acima, qual seria uma boa ideia para definir uma topologia no subconjunto \(Y\) a partir da topologia de \(X\)?
Gostei principalmente do "para pensar".
written 3 months ago by Leandro Aurichi  

1 Answer


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3 months ago by
Sobre o "para pensar", gosto da seguinte visão universal:

Seja \(f:X\to Y\) uma função de um conjunto \(X\) em um espaço topológico \(Y\). Defina a topologia inicial em \(X\) declarando como abertos as pré-imagens de abertos em \(Y\). (Não é difícil verificar que isto dá, de fato, uma topologia em \(X\).)

Seja \(X\) um subconjunto de um espaço topológico \(Y\), \(X\subset Y\). Qual a topologia inicial em \(X\) induzida pela inclusão \(\iota:X\hookrightarrow Y\)?

Para quem já sabe alguma coisa sobre propriedades universais (lá da teoria de categorias), a propriedade universal que caracteriza a topologia inicial induzida em \(X\) por \(f:X\to Y\) é a seguinte: dados um espaço topológico \(Z\) e uma função \(g:Z\to X\), então \(g\) é contínua se e só se a composta \(f\circ g:Z\to Y\) é contínua.

Claro que também temos o caso da topologia final, em que uma seta \(f:X\to Y\) induz no conjunto \(Y\) a topologia do espaço topológico \(X\) ...
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