Dicas Para 14 e 19 - Lista 1


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4 months ago by
Oi :)
Alguma dica para começar as questões 14 e 19 da lista 1?

Obrigada!
Community: ALGEBRA I -2018
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14 a) Você pode fazer por contradição. O que acontece se \(g^n = g^m\) e \(m \neq n\)? (use a lei do cancelamento).
14 b) Chame \(o(g)\) de \(k\). Note que \(g^{k+r} = g^k*g^r =e *g^r= g^r\).


19) Pensa que dados dois elementos \(h_1\) e \(h_2\) da união, existem \(H_1 \ni h_1\) e \(H_2 \ni h_2\) subgrupos da união com esses elementos. Como é cadeia, \(h_1 \in H_2\) ou \(h_2 \in H_1\).

written 4 months ago by Estevão Lobo  

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4 months ago by
(19) Note que a operação binária aqui é a União. Precisamos provar:

  • Não vazio: $\bigcup_i_{\in I}$iI  $H_i$Hi  $\ne\varnothing$.
O subgrupo trivial <e> $\le G.$G. Note <e>$\subset H_i$Hi  $,\forall i\in I.$,∀iI.  Logo, $\cup_i_{\in I}$iI  $H_i$Hi  $\ne\varnothing.$.
  • Fechamento:
Sejam  $H_{i_1}$Hi1 e  $H_{i_2}$Hi2 $\in\bigcup_i_{\in I}$iI  $H_i$Hi subgrupos de G, tais que, sem perda de generalidade, $H_{i_1}\subset H_{i_2}.$Hi1Hi2.  
Então,   $H_{i_1}\cup H_{i_2}=H_{i_2}$Hi1Hi2=Hi2 $\in\bigcup_i_{\in I}$iI  $H_i.$Hi.

  • Inverso:
Sejam $H_i$Hi e $H_i^{-1}$Hi1 subgrupos de G, tais que  $H_i$Hi  $\in\cup_i_{\in I}$iI  $H_i.$Hi. Queremos mostrar que  $H_i^{-1}$Hi1 $\in\bigcup_i_{\in I}$iI  $H_i.$Hi.
Sabemos que  $H_i$Hi  $\cup H_i^{-1}=$Hi1=<e> $\in\cup_i_{\in I}$iI  $H_i$Hi . Isto é, $H_i^{-1}$Hi1 contém os elementos inversos de $H_i.$Hi.
Como  $H_i$Hi  é um subgrupo de G, todo elemento em $H_i$Hi  possui um inverso. Assim,  $H_i$Hi contém todos os elementos do subgrupo  $H_i^{-1}$Hi1  $\Rightarrow$  $H_i^{-1}\subset$Hi1 $H_i$Hi   $\Rightarrow$  $H_i$Hi $\cup H_i^{-1}=$Hi1= $H_i$Hi $\in\cup_i_{\in I}$iI  $H_i.$Hi.
Note que, se o conjunto maior está na União, o menor também estará. Segue que  $H_i^{-1}\in\cup_i_{\in I}$Hi1iI  $H_i.$Hi.
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