exercício 16 lista 3


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12 weeks ago by
Olá,

alguma dica para este exercício por favor? eu havia pensado em construir um homomorfismo entre \(m \mathbb{Z} \) e
\( \mathbb{Z_n} \) usando \( \phi(m) = (m )mod n \), mas acho que não é a construção correta.

agradeço desde já
Community: ALGEBRA I -2018
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Neto, é isso aí ! Agora calcule o núcleo e use o teorema do isomorfismo.  
written 12 weeks ago by Roberto Alvarenga Jr.  
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Roberto, acho que estou fazendo alguma confusão, pois não consigo ver o porque do kernel ser \( mn \mathbb{Z} \) (parece ser trivial mas não estou enxergando). poderia dar uma luz? agradeço muito
written 12 weeks ago by Neto Figueira  
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Neto, você pode verificar que o mapa está bem definido !? Depois tem que verificar a sobrejetividade, para isso mostre que tem um múltiplo de \(m\) que é mapeado ao \(1\) de \(\mathbb{Z}_n\) (dica: use que \( \mathrm{gcd}(m,n)=1\)). Para o núcleo, você pode mostrar a igualdade de conjuntos, veja a solução da Cláudia abaixo. Por fim, é só usar o teorema do isomorfismo. Se restar alguma dúvida é só falar.
written 12 weeks ago by Roberto Alvarenga Jr.  
Olá,

Eu não entendi a parte de que a sobrejetividade é garantida apenas mostrando que existe um x em mZ que é mapeado no 1 de Zn. Tem como explicar/enunciar as condições para o resultado?

Obrigado.
written 12 weeks ago by Claudinei Caetano Júnior  
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Oberse que \(\mathbb{Z}_n\) é cíclico, se \(m' \mapsto 1\), então dado \(\overline{d} \in \mathbb{Z}_n\), \(\overline{d}\) é a imagem de \(dm'\).  
written 12 weeks ago by Roberto Alvarenga Jr.  
Nem parem pra pensar nisso. Muito obrigado.
written 12 weeks ago by Claudinei Caetano Júnior  

2 Answers


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12 weeks ago by
mnZ está contido no Kernel pois
mnz mod n = 0 mod n

E Kernel está contido em mnZ pois
dado mz = 0 mod n, quero provar que n\z.
Como n\(mz) e n não divide m, mdc(m,n)=1.
( 1=rm+sn e z=rzm+szn )
Então n\z.

Portanto, nmZ=Kernel
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12 weeks ago by
Com as informações de vocês ficou bem mais claro, muito obrigado Cláudia e Roberto!
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