Nets: Subnet Vs Restrição à Co-final (Um pouco fora do escopo)


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Seja uma net definida no Espaço de Tychonoff-Plank \(X = (\omega_1+1)\times(\omega+1)\), topologia produto das topologias ordem dos ordinais.

Seja a net definida do direcionado \( \mathcal{A} \doteq \omega_1 \times \omega \) com a (pre)ordem lexicográfica como
\[
\lambda(\alpha,n) \doteq (\alpha,n)
\]

\(\lambda\) é contra-exemplo de "se \(x\) é ponto de aderência da net \(\lambda:\mathcal{A} \rightarrow X \) então existe co-final \(\mathcal{C} \subset A\) tal que \(\lambda\vert_\mathcal{C} \rightarrow x\)", o que faz da definição "restringir à co-final" uma "má definição" de subnet.

Af.:\( p = (\omega_1,\omega) \in X \) é ponto de aderência do net:

Dem: de fato dado \( U \in \mathcal{N}_p\), \( (\alpha,n) \in U\backslash \{(\omega_1,\omega)\} \) e seja \( \gamma = (\beta,m) \in \mathcal{A} \) de fato,  \(\exists \alpha \doteq (\max\{\alpha,\beta\}+1,\max\{m,n\}+1) \succ \gamma \) com \(\lambda(\alpha) \in U\), logo \(\lambda\) está frequentemente em toda vizinhança de \(p\).

Af .: \( \nexists\) co-final \(\mathcal{C}\subset \mathcal{A}\) com \(\lambda\vert_\mathcal{C} \rightarrow p \)

[Acho que acabei entendendo no processo de escrever a pergunta mas... pra quem se interessar (vulgo não quero desperdiçar o trabalho de ter digitado tudo isso)]

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