Exercício - combinações


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9 weeks ago by
Boa noite!

Hoje fiz uma resolução para o exercício abaixo, porém me indaguei se ela está adequada. Seria o correto, em vez disso, realizar a demonstração por indução?

Obrigada!


Sejam n ∈ ℕ>0 e k ∈ ℕ tal que 0 $\le$ k $<$< n.
Mostre que
\begin{equation}
\left( \begin{array}{ccc}       
n + 1 \\                         
k + 1 \end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{ccc}       
n  \\                         
k + 1 \end{array} \right)
+
\left( \begin{array}{ccc}       
n  \\                         
k \end{array} \right)
\end{equation}

Resolução:

\begin{equation}
\left( \begin{array}{ccc}       
n  \\                         
k + 1 \end{array} \right)
+
\left( \begin{array}{ccc}       
n  \\                         
k \end{array} \right)
=
\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}
+
\frac{n!}{k!(n-k)!}
=
\frac{n!}{k!(n-k)(n-k-1)!}
+
\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}
=
\frac{n!(k+1)}{(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}
+
\frac{n!(n-k)}{(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}
=
\frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}
=
\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}
=
\left( \begin{array}{ccc}       
n + 1 \\                         
k + 1 \end{array} \right)
\end{equation}
Tem um truque bom para fazer essa sem fazer conta. Vou tentar fazer na próxima aula.
Mas já vai uma dica: tente interpretar os dois lados como contando certas coisas.
written 8 weeks ago by Leandro Aurichi  

1 Answer


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9 weeks ago by
Já me alertaram que está incompleto, irei refazer a resolução.
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