Algum jeito esperto de analisar os pontos de inflexão?


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8 months ago by
Olá, pessoal! Cá estou novamente perguntando sobre a quártica de Klein. Em uma pergunta anterior foi discutido que é relativamente fácil verificar que toda multitangente a tal curva é na verdade uma bitangente e as ordens de contato nos pontos de tangência devem ser exatamente 2.

Além disso, fazendo algumas contas não muito assustadoras, dá para verificar que a quártica é não-singular, ou seja, já temos dois dos três itens verificados naquela equivalência com "ser curva de Plücker".

Entretanto,a situação está um pouco mais delicada na hora de verificar que os pontos de inflexão da curva são ordinários. Sabendo que a curva é não-singular, uma possibilidade é verificar que as multiplicidades de interseção entre a curva e sua hessiana são exatamente 1 nos pontos da interseção. O problema é que essa interseção é meio problemática de analisar, tanto para encontrar todos os pontos, quanto para verificar que são de inflexão ordinária. Por exemplo, se tentarmos achar as interseções com um resultante, fazendo a conta pelo Magma dá para ver que esse resultante é bem grande.

Já verificamos que os pontos de inflexão são ordinários mesmo pelo Magma, mas alguém tem uma ideia mais inteligente de como verificar isso, talvez sem precisar apelar para o computador?
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Como a curva tem grau 4, a unica forma de um ponto de inflexao P
nao ser simples seria  quando a ordem de contato  da  curva   com
a reta tangente em P  é exatamente 4.
written 8 months ago by Herivelto Borges  
Não entendi como isso ajuda. Não poderíamos ter, por exemplo, todos os pontos de inflexão com ordem de contato 4, e, daí, seriam 6 pontos distintos?
written 8 months ago by Maíra Duran Baldissera  
Você consegue escrever a reta tangente nesse caso e calcular o índice de interseção.
written 8 months ago by Leonardo Soares Moço  
Só quando o índice é 4?
Não entendi.
written 8 months ago by Maíra Duran Baldissera  
Esquece, muito trabalho.
written 8 months ago by Leonardo Soares Moço  
Realmente tentar calcular a multiplicidade de interseção para um ponto de inflexão arbitrário é bem trabalhoso e assustador.
written 8 months ago by Edmundo Martins  
Da' um certo trabalho, mas nao se assustem com isso. Se nao encontraram algum jeito menos trabalhoso  (mesmo com ajuda do magma), nao ha problema nisso.... bola pra frente!
written 8 months ago by Herivelto Borges  
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