questão 6 e 9 - lista 2


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4 months ago by
Olá,

na questão 6 cheguei no resultado de que o mapeamento (bijetivo) em questão é morfismo para grupos abelianos. na questão 9 quer-se mostrar que um grupo é abeliano \( \iff \phi(g) \) é automorfismo. a ida segue do resultado da questão 6. não estou conseguindo formalizar muito bem a volta, alguém teria alguma sugestão? desde já agradeço.
Community: ALGEBRA I -2018

2 Answers


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4 months ago by

Lembre-se que \( (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\), pois: \[ (ab) * (b^{-1}a^{-1}) = (a)*(b*b^{-1})*(a^{-1}) = a * a^{-1} = e\]



Para a ida, cheque quem é \( \phi(a*b)\) (e use a hípotese de que é abeliano).

Para a volta, sabendo que sua hípotese é de que \( \phi\) é automorfismo, foque na parte de que é morfismo (porque "auto" segue da existência (portanto sobrejetora) e unicidade (portanto injetora) do elemento inverso) e cheque também quem é \( \phi(a*b)\)

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4 months ago by
Temos que  $\phi\left(g\right)=g^{^{-1}}$ϕ(g)=g1. Vamos mostrar que o mapa é bijeção.
  • Injetiva:  $\phi\left(g_1\right)=\phi\left(g_2\right)$ϕ(g1)=ϕ(g2) $\Rightarrow$  $g_1^{-1}=g_2^{-1}\Rightarrow$g11=g21  $g_1=g_2.$g1=g2.
  • Sobrejetiva: Dado a$\in Im\left(\phi\right)$Im(ϕ), temos  $\phi\left(a^{-1}\right)=a.$ϕ(a1)=a.
Note que  $\phi$ϕ nem sempre é um morfismo de Grupos. Basta demonstrar a afirmação:
$\phi$ϕ é um morfismo  $\Leftrightarrow$ G é Abeliano

$\Leftarrow$
Sejam  $g_1,g_2$g1,g2  $\in G$G. Como G é abeliano,  $g_1g_2=g_2g_1$g1g2=g2g1.
Daí,  $\phi\left(g_1g_2\right)=\left(g_1g_2\right)^{-1}=g_2^{-1}g_1^{-1}=g_1^{-1}g_2^{-1}=\phi\left(g_1\right)\phi\left(g_2\right).$ϕ(g1g2)=(g1g2)1=g21g11=g11g21=ϕ(g1)ϕ(g2).   

$\Rightarrow$
Seja $\phi$ϕ um morfismo de Grupos. Então, $\forall$  $g_1,g_2$g1,g2  $\in G,$G,
$\phi\left(g_1g_2\right)=\left(g_1g_2\right)^{-1}=g_2^{-1}g_1^{-1}=\phi\left(g_1\right)\phi\left(g_2\right)=g_1^{-1}g_2^{-1}\Rightarrow g_2^{-1}g_1^{-1}=g_1^{-1}g_2^{-1}\Rightarrow\left(g_1g_2\right)=\left(g_2g_1\right).$ϕ(g1g2)=(g1g2)1=g21g11=ϕ(g1)ϕ(g2)=g11g21g21g11=g11g21(g1g2)=(g2g1).
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