Dúvidas na Lista 3


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3 months ago by
1) Considere o conjunto dos números inteiros

                                          \[\mathbb{Z} = \{...,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...\}\]

e a regra que associa a cada número natural \(n \in \mathbb{N}\) ao(s) número(s) inteiro(s) cujo(s) quadrado(s) é (são) n. Por exemplo, 9 é levado em −3 e 3, visto que (−3)2 = 32 = 9. Utilizando essa regra, analise se é possível determinar:
(a) uma função \(f \colon  \mathbb{N} \to  \mathbb{Z}\);
(b) uma função \(g \colon  \mathbb{N} \to  \mathbb{N}\).

Minha solução:
a) Não é possível determinar uma função  \(f \colon  \mathbb{N} \to  \mathbb{Z}\), já que não existe um número natural, n, que ao quadrado dê um número negativo. No caso, do resultado ser um número inteiro positivo, há possibilidade, pois, o conjunto dos números naturais, estão ''dentro'' do conjunto dos número inteiros.
b) É possível determinar uma função  \(f \colon  \mathbb{N} \to  \mathbb{N}\), por exemplo:
\[f \colon  \mathbb{N} \to  \mathbb{N}\]
\[g(x) = x^2\  ou\  g(x) = 2x, x \in \mathbb{N}\]
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Você precisa ler com cuidado o enunciado. O que essa regra faz? No exemplo do enunciado ela faz o seguinte: 
\[ \begin{array}{lll}
9 &\mapsto& -3\\
9 & \mapsto& 3
\end{array} . \]

Ou seja, ela leva um cara do conjunto de partida a dois elementos distintos do conjunto de chegada. Isso pode ocorrer em uma função?

A resposta que você colocou no item (a) não descreve a regra do enunciado. E sim a regra que leva cada número ao seu quadrado. Por exemplo, a regra que você está descrevendo leva \(5\) a \(25=5^2\). A regra do enunciado é diferente, ela leva o número nos números que elevados ao quadrado dão ele. Um outro exemplo:

\[ \begin{array}{lll}
  25&\mapsto& -5\\
  25& \mapsto& 5
\end{array} .\]
written 3 months ago by psfsilva  
Me desculpa pela interpretação.
Então, no caso, o 9 seria o conjunto domínio, e (- 3) e 3, seria o conjunto contra domínio.
Não seria função, pois, um elemento do domínio não pode estar ligado a dois elementos do contra domínio.
written 3 months ago by Gabriel Santana  
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Eu imaginei que você entenderia. É só ler com um pouquinho de cuidado.
written 3 months ago by psfsilva  
Então, minhas soluções, tanto da letra a e b, estão equivocadas
written 3 months ago by Gabriel Santana  
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Estão. Na verdade, todas soluções que você colocou têm erros ou estão confusas. Mas vamos com calma. Vamos discutir uma de cada vez.
written 3 months ago by psfsilva  
Vamos ao item (b). Agora, se o conjunto de chegada é \(\mathbb{N}\), então o problema que tinha no item (a) ocorre?
written 3 months ago by psfsilva  
Acho que não, já que no conjunto dos números naturais, não ocorre do conjunto domínio ter mais que uma imagem.
written 3 months ago by Gabriel Santana  
Okay. Agora você precisa pensar na outra parte da definição de função. Todos os elementos do conjunto de chegada têm imagem?
written 3 months ago by psfsilva  
Acho que sim, por exemplo,
Dado o conjunto domínio sendo {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, o conjunto imagem seria {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}, já que a regra é,
\[f \colon  \mathbb{N} \to  \mathbb{N}\]
\[g(x) = x^2\ , x \in \mathbb{N}\]
written 3 months ago by Gabriel Santana  
Gabriel, a regra não é essa. Ele não leva o número no seu quadrado. Você continua interpretando errado.
written 3 months ago by psfsilva  
A regra é levar o número natural no número cujo quadrado dá ele. Vou te dar de novo um exemplo, ele leva \(144\) em \(12\), pois \(12^2=144\). Em termos de setas, a regra é contrária ao que você tá fazendo.
written 3 months ago by psfsilva  
Seria \(x^2\ \mapsto x \) ou \(x \mapsto x^2\)?
written 3 months ago by Gabriel Santana  
Seria o primeiro caso:
\[144 = 12^2 \mapsto 12 .\]
written 3 months ago by psfsilva  
Então, nem todos os elementos do conjunto de chegada, não teria uma imagem. Logo, não seria uma função?
written 3 months ago by Gabriel Santana  
Dê um exemplo de um número que não teria um correspondente no conjunto de chegada.
written 3 months ago by psfsilva  
Não existe um número que ao quadrado dê 123
written 3 months ago by Gabriel Santana  
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Provar isso não é tão simples. Mas existe um exemplo que provamos em sala. No seu lugar, eu usaria algo que já foi provado, para não ter o trabalho de fazer. Pense em números menores. Teve um número que provamos em sala não ser racional e portanto não pode ser natural, pois os naturais estão "dentro" dos racionais. Esse número te ajuda na tua resposta.
written 3 months ago by psfsilva  
Seria a raiz quadrada de 2?

Anotação do meu caderno:
Proposição:  $\sqrt{2}$2 não é um número racional
OBS:  $\sqrt{m}$m , n≥0; n2 = m
Exemplo:   $\sqrt{4}=2;2^2=4$4=2;22=4
(...)
written 3 months ago by Gabriel Santana  
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Isso! E seja esperto! Você não precisa provar o que já foi provado em sala. Use o resultado! Agora reescreva as soluções e poste como comentário. Elas serão bem pequenas hehe. Depois disso, passamos para o exercício 2.  Sugiro você criar uma nova postagem para o exercício 2. Assim não fica tudo misturado aqui.
written 3 months ago by psfsilva  
Então, poderia colocar as resoluções como:
1)
a) Não seria função, pois, um elemento do domínio não pode estar ligado a dois elementos do contra domínio. No exemplo do enunciado, o 9 seria um elemento do  domínio,  - 3 e 3, seriam elementos do  contradomínio:
\[ 9 ↦ −3\]
\[9 ↦ 3\].

b) Se o conjunto de chegada é \(\mathbb{N}\), então o problema que tínhamos no item (a) não ocorre nesse item, já que no conjunto dos números naturais não acontece do elemento do domínio ter mais que uma imagem. Porém, também não seria uma função, pois, nem todos os elementos do conjunto de chegada teriam uma imagem.  Por exemplo, provamos em sala que  $\sqrt{2}$2  não é um número racional e portanto não pode ser natural, pois os naturais estão "dentro" dos racionais, desse modo não existe um número natural que ao quadrado dê 2.
written 3 months ago by Gabriel Santana  
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Vou editar um pouco a sua resposta. Observe os excessos retirados, bem como as falhas. Por exemplo, a confusão que você está fazendo entre elemento e conjunto.
written 3 months ago by psfsilva  
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Pronto! Clique em revisions e você verá o comparativo da minha edição com a sua resposta. É bom vocẽ começar aprender a dosar o tamanho da resposta e ter cuidado com os termos utilizados.
written 3 months ago by psfsilva  
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Se você achar legal, copie e cole a resposta em Add your answer (Trad livre: adicione sua resposta). O bom de fazer isso é que a postagem fica como finalizada.
written 3 months ago by psfsilva  

1 Answer


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3 months ago by
Solução da questão 1:
a) Não seria função, pois, um elemento do domínio não pode estar ligado a dois elementos do contra domínio. No exemplo do enunciado, o 9 seria um elemento do  domínio,  - 3 e 3, seriam elementos do  contradomínio:
\[ 9 ↦ −3\] \[9 ↦ 3\].

b) Se o conjunto de chegada é \(\mathbb{N}\), então o problema que tínhamos no item (a) não ocorre nesse item, já que no conjunto dos números naturais não acontece do elemento do domínio ter mais que uma imagem. Porém, também não seria uma função, pois, nem todos os elementos do conjunto de chegada teriam uma imagem.  Por exemplo, provamos em sala que  \(\sqrt{2}\)  não é um número racional e portanto não pode ser natural, pois os naturais estão "dentro" dos racionais, desse modo não existe um número natural que ao quadrado dê 2.
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