Questão 2 - Lista 4


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3 months ago by
Sobre as órbitas da ação de \(GL_2(\mathbb{R})\) em \(\mathbb{R}^2\).
Eu consigo ver que a órbita de qualquer matriz de determinante diferente de zero é o próprio \(GL_2(\mathbb{R})\).
Mas e a órbita de uma matriz que tem determinante zero? É claro que não dá pra generalizar e dizer que a órbita de todas é o  \(\mathbb{R}^2 \setminus GL_2(\mathbb{R})\).
Se alguém puder dar uma dica, agradeço.
Community: ALGEBRA I -2018
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Henrique, a órbita de uma ação é um subconjunto/subgrupo do conjunto que recebe a ação do grupo, no caso \(\mathbb{R}^{2}\). As matrizes em \(\mathrm{GL}_2\) são todas de determinante diferente de zero. Minha sugestão é que você analise os casos em que \( (x,y) \in \mathbb{R}^{2}\) seja o igual ou diferente do ponto \((0,0)\).    
written 12 weeks ago by Roberto Alvarenga Jr.  
Nesse exercício estou com dificuldades em definir uma função que seja uma ação. Em outras palavras, antes de descrever as órbitas e os estabilizadores estou tentando, primeiro, enxergar qual é a "ação natural" de GL2(R) em R^2, mostrar que de fato é uma ação e depois descrever as órbitas e estabilizadores.
Caso alguém tenha conseguido identificar qual é essa ação/função poderia mostrar, por favor?
written 12 weeks ago by Danielle Lopes  
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A ação é a multiplicação (para mim, é a natural nesse contexto)
written 12 weeks ago by Henrique Lecco  
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Fiz isso, peguei M ∈ GL2(R) e (x,y) ∈ R² tomei M(x,y), mas quando fui verificar se é ação não deu certo (posso ter feito algum cálculo errado).
Na primeira condição ok, basta pegar a matriz identidade, mas na segunda condição, (AB)(x,y)=A[B(x,y)] não deu bom!
Vc conseguiu checar que de fato é ação?

Obrigada
written 12 weeks ago by Danielle Lopes  
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Nossa! Agora reparei que estava fazendo besteira! Em vez de usar \(\mathbb{R}^2\), estava usando matrizes reais \(2 \times 2\). Depois tento escrever certo e ver no que dá.
written 12 weeks ago by Henrique Lecco  
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Danielle, você está no caminho certo ! Tente escrever explicitamente as matrizes \(A\) e \(B\) e fazer a multiplicação. Faça separadamente os produtos \(AB (x,y)\) e \(A (B(x,y))\)  e depois os compare. Você vai ver que são iguais.
written 12 weeks ago by Roberto Alvarenga Jr.  
Obrigada Roberto. Farei isso! :)
written 12 weeks ago by Danielle Lopes  
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