Questão 1.(2) - Lista 3


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3 months ago by
Anonymous
Olá pessoal!
Gostaria da opinião de vcs a respeito do exercício 1.(2), pois estou inseguro. Por favor.

Segue minha resolução (assuma phi = f para facilitar a digitação):
Tome a ∈ Z/nZ t.q. <a> = Z/nZ (estou inseguro se posso afirmar que existe esse gerador), então fu(a) = ua = a+a+...+a (u vezes), então fu ∈ Aut(Z/nZ,+).

Verificando se a relação é isomórfica:
Inj.: Sejam fu, fp ∈ Aut(Z/nZ,+) t.q. fu(x)=fp(x) => ux = px => u = p.
Sobre.: Dado fu ∈ Aut(Z/nZ,+), temos que fu(x) = ux => ∃ u ∈ (Z/nZ)* , ∀ fu ∈ Aut(Z/nZ,+).
Logo, existe uma bijeção, por tanto é isomórfica.

Desde já agradeço.
Community: ALGEBRA I -2018

1 Answer


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3 months ago by
  • "fu(a) = ua = a+a+...+a (u vezes), então fu ∈ Aut(Z/nZ,+)."
Eu não entendi a conclusão de que \(f_u \in Aut(\mathbb Z /n \mathbb Z)\). Tem que mostrar que \(f_u\) é morfismo, sobrejetor e injetor. (na hora de mostar que é sobrejetor acho que você vai precisar usar a hipótese de que \((u,n) = 1\)).
Mais adiante:

  • "Sobre.: Dado fu ∈ Aut(Z/nZ,+)..."
Aqui, na verdade, você tem que mostrar que dado \(\psi \in Aut(\mathbb Z/ n \mathbb Z)\),  \(\psi = f_u, \,\, u \in \left( \frac{\mathbb Z}{n \mathbb Z}\right)^{\times}\) porque você não sabe, a priori, que todo automorfismo de \(\mathbb Z/n \mathbb Z\) é dessa forma (dica: veja o que \(\psi \in Aut(\mathbb Z/ n \mathbb Z)\) faz com o \(1\)).
Olá,

Não entendi muito bem a dica para a segunda parte (sobrejetividade para concluir o isomorfismo). Por que (e como saber o que) olhar o que a Ψ faz com o 1 e não com o 0? Não seria o 0 o elemento neutro de (Z/nZ, +)?

Se eu estiver falando abobrinha, dá um toque aí kkkkk.

Valeu.
written 3 months ago by Claudinei Caetano Júnior  
Você está certo, o zero é o elemento neutro, mas não é muito interessante ver o que \(\psi\) faz com o zero porque morfismo sempre leva zero no zero (prova rápida \(\psi(a) = \psi(a + 0) = \psi (a) + \psi(0) \implies \psi(0) = 0\))

A questão de saber o que faz no um é bem tricky, mas pense que \[\psi(x) = \psi (\underbrace{1+1+...+1}_{\text {x vezes}}) = \underbrace{\psi(1) + \psi (1) + ... + \psi (1)}_{\text {x vezes}}\]

e isso deve ajudar.
written 3 months ago by Estevão Lobo  
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Pode crer. Só pra ter certeza que tô tendo a ideia correta: falta então mostrar que Ψ(1) pertence a (Z/nZ)*?
written 3 months ago by Claudinei Caetano Júnior  
É isso aí!

(The content is too short. Ensure it has at least 20 characters.
)
written 3 months ago by Estevão Lobo  
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Deu um trabalho danado, mas saiu aqui. Valeu.
written 3 months ago by Claudinei Caetano Júnior  
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