Questão 19 - Lista 2


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4 months ago by
Alguma dica pra questão 19 da lista 2? =)
Community: ALGEBRA I -2018
Dica: ciclos disjuntos comutam (se você já estava usando isso eu posso dar outra dica).
written 4 months ago by Estevão Lobo  

2 Answers


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4 months ago by
A dica é usar a questão 18 e o fato de que \(\langle g\rangle\) tem ordem \(k\) se, e somente se, \(k\) é o mínimo tal que \(g^k=1\)
Acho que isso já pode te ajudar bastante! ;)
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4 months ago by
Seja $\sigma=\sigma_1\circ$σ=σ1 $\ldots$  $\circ$ $\sigma_k$σk  $\in S_n$Sn. Por hipótese,  $\sigma^{^{n_1}}=Id$σn1=Id, $\sigma^{^{n_2}}=Id$σn2=Id, $\ldots$, $\sigma^{^{n_k}}=Id$σnk=Id . Sabemos que  $Id=Id$Id=Id  $\circ$  $\ldots$  $\circ$  $Id$Id . Queremos uma potência, digamos $n$n , para $\sigma$σ, tal que todos os ciclos, quando operados $n$n vezes, nos tornem $Id$Id. Mas então esse número deve ser um múltiplo comum das potências de cada um dos ciclos e escolhendo assim, por ser um múltiplo de cada $n_i$ni , ainda valem $\sigma^{^{n_1}}=Id$σn1=Id,  $\sigma^{^{n_2}}=Id$σn2=Id, $\ldots$ , $\sigma^{^{n_k}}=Id$σnk=Id . Daí, teremos $Id$Id $\circ$ $\ldots$ $\circ$ $Id$Id =  $Id$Id . Então,  $n=mmc\left(n_1,\ldots,n_k\right)$n=mmc(n1,…,nk).
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