Questão 20 - Lista 5


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7 weeks ago by
Anonymous
Alguém poderia me dizer se esta solução está correta por favor? Não estou confiante :/

(=>) Supondo G solúvel, então existe a cadeia {e}=G0 < G1 <...< Gn=G t.q. Gi+1/Gi são abeliano. Temos que G^(1) <= G(n-1) => G^(2) <= [G(n-1)]' <= G(n-2) ... G(n) <= [G0]^(n-1)={e}, i.e., a série derivada de G atinge {e}.

(<=) Segue da própria definição de solubilidade.

Agradeço
Community: ALGEBRA I -2018

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7 weeks ago by

Oi, vou mostrar como fiz

(=>) Supondo G solúvel, então existe a cadeia {e}=G0 $\bigtriangleup$ G1 $\bigtriangleup$ ... $\bigtriangleup$ Gn=G t.q. Gi+1/Gi são abeliano.

(I) Observe que G(n-1)  $\bigtriangleup$  G e G/G(n-1) é abeliano, então G' <= G(n-1).
(II) De maneira análoga, note que G(n-2)  $\bigtriangleup$  G(n-1) e G(n-1)/G(n-2) é abeliano, então G'(n-1) <= G(n-2).

De (I) e (II) concluímos que G''<= G'(n-1) <= G(n-2), i.e., G''<=G(n-2).
Fazendo isso repetidamente chegamos em G$^{\left(n\right)}$(n) <= {e}, i.e., G$^{\left(n\right)}$(n)  = {e}.



(<=) {e}= $G^{\left(n\right)}\bigtriangleup G^{\left(n-1\right)}\bigtriangleup...\bigtriangleup G'\bigtriangleup G$G(n)G(n1)△...△G'△G  onde   $\frac{G^K}{G^{K+1}}$GKGK+1   é abeliano.

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