dúvidas simples


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3 months ago by
Olá pessoal, estou com algumas dúvidas que acredito que sejam bem simples mas não estou
conseguindo esclarecer completamente por conta própria, então gostaria de pedir uma ajuda:

1°: queria confirmar o argumento para demonstrar que \(|X| \equiv |X^G| \mod p\). o que entendo é que, como \(|G| = p^n \), e \( |X| = \sum |orb(x)| = \sum [G : stab(x) ] \), da fórmula de contagem segue que \( [G : stab(x)] | |G| \) e consequentemente \( p | [G : stab(x) ] \) pois \( [G :stab(x)] \) deve ser um múltiplo de \( p \). não sei se é esse de fato o caminho certo mas, a partir daqui não sei bem como usar essas informações para concluir o argumento.

2°: na demonstração da proposição de que se \(p \) é o menor primo que divide a ordem de G, então todo subgrupo de índice \(p \) é normal em G, não ficou claro para mim porque \( |G| = pn \) não divide \( p! \).

imagino que sejam coisas fáceis mas não estou conseguindo enxergar, então, agradeço desde já uma ajuda.
Community: ALGEBRA I -2018
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Atualizei a resposta lá em baixo, não sei se vai chegar notificação no e-mail, então estou comentando aqui pra te avisar :)
written 3 months ago by Henrique Lecco  
Henrique, agora ficou claro, ajudou muito, obrigado!
written 3 months ago by Neto Figueira  

1 Answer


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3 months ago by
Agora só consigo responder a 2.
\(pn\) não divide \(p!\) porque, caso dividisse, então veja que nesse caso \(n\) dividiria \((p-1)!\). Mas todos os primos na fatoração de \(n\) são maiores que \(p\) (porque \(p\) é o menor primo que divide \( \vert G \vert = pn\)) mas todos os primos na fatoração de \((p-1)!\) são menores que \(p\).
E isso é uma contradição.

EDIT:
Respondendo a 1 também: se você escrever a equação de classe como \( \vert G \vert = \sum_{x \in A} [ G: \text{Stab}(x) ] + \vert X^G \vert \), sendo \(A\) um conjunto de representantes de cada órbita não trivial, fica mais fácil de enxergar.
Como \(p\) divide \( [ G: \text{Stab}(x) ] \), \( [ G: \text{Stab}(x) ]  \equiv 0 \ \text{mod} \ p\) e, por isso, temos de \( \vert G \vert = p^n = [ G: \text{Stab}(x) ] + \vert X^G \vert \) que \( \vert G \vert \equiv \vert X^G \vert \ \text{mod} \ p \)
agora entendi, obrigado Henrique!
written 3 months ago by Neto Figueira  
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