Um resultado simples


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1
6 months ago by

Mas que acho que vale a pena lembrar:

Mostre que se G é simples e f: G -> H um morfismo não trivial (que não envia todo g em G para e em H), então f é 1-1

Community: Algebra I-ICMC-2017

2 Answers


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6 months ago by
Anonymous

É um resultado muito importante mesmo. Uma consequência direta do fato de \(ker f\) ser um subgrupo normal de \(G\), então, como \(G\) é simples \(ker f = G\) ou \(ker f = \{e\}\). A primeira opção não pode ser, pois estamos supondo que \(f\) é não trivial, então   \(ker f = \{e\}\), e portanto \(f\) é injetivo.

4
6 months ago by

Seja \(\phi\) um morfismo não trivial de \(G\) para \(H\).

Como \(ker(\phi)\) é normal em \(G\), temos que este deve ser trivial. Uma vez que \(\phi\) é não trivial, \(ker(\phi) \neq G\), logo \(ker(\phi) = {e}\) logo é morfismo injetor, pois do Primeiro Teorema do Isomorfismo, temos que \(G/ker(\phi)) \cong Im(\phi)\), logo pelo resultado anterior temos que \(|G|=|Im(\phi)|\).

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