Questão 24 - Lista 4


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8 weeks ago by

Gente, eu não entendi como contar quantos elementos tem no subgrupo de \( GL_n(\mathbb{F}_p) \) descrito na questão 24. Eu sei que vão ter \(  \frac{n^2 - n}{2} \) (vamos chamar esse número de \(k\) ) entradas da matriz pra preencher e que cada entrada pode ter \(p \) caras. Então teoricamente vamos ter \( p^k \) caras no subgrupo, certo?

Mas como eu vejo que isso é um p-Sylow de \(GL_n(\mathbb{F}_p) \) ? Eu sei que o tamanho desse grupo é \( (p^n - 1) \ldots (p^n - p^{n-1}) \), mas e daí pra onde eu vou?

 

add commentfollow this post modified 8 weeks ago by Herivelto Borges   • written 8 weeks ago by Frederico Bianchini  

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8 weeks ago by

Observe que você pode fatorar \(p^i\), com \(i=0,1,\cdots,n-1\), do fator de posicao i (esquerda pra direita) do produtório abaixo:

\[ (p^n - 1)(p^n-p) \ldots (p^n - p^{n-2})(p^n - p^{n-1}), \]

Assim, a maior potência de p que divide o produtório acima será:

\[p^{0}\cdot p^{1}\cdot p^2\cdot \ldots\cdot  p^{n-1}=p^{1+2+\cdots+(n-1)}=p^{\frac{n(n-1)}{2}}\]

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Nossa, de fato. Eu não exerguei isso.
Obrigado, professor

written 8 weeks ago by Frederico Bianchini  
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