Dúvida marota


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5 weeks ago by
Bom dia pessoal!

Seja \(U\subset\mathbb{R}^n\) um aberto e seja \(f:U\rightarrow\mathbb{R}^n\) uma função contínua e injetora. Considerando em \(f(U)\) a topologia induzida de \(\mathbb{R}^n\) se \(f^{-1}:f(U)\rightarrow U\) é contínua então \(f(U)\) é aberto em \(\mathbb{R}^n\)?

3 Answers


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5 weeks ago by
Guga  
Na verdade você não precisa da hipótese que \(f^{-1}\) é contínua.
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain
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5 weeks ago by
Não necessariamente. Tome \(U\) como um intervalo fechado em \(\mathbb{R}\) e \(f\) leva \(x\) em \((x, x,...,x)\). A função é contínua, tem inversa contínua quando se restringe o contradomínio e é injetora. Mas \(f(U)\) não é aberto em \(\mathbb{R}^n\).

EDIT: li errado, achei que \(U\) estivesse em \(\mathbb{R}\). Pra consertar, em vez de tomar um intervalo fechado, seja \(U\) intervalo fechado na primeira coordenada e um ponto qualquer em todas as outras. Mas, agora lendo certo a pergunta, tem um contra exemplo mais fácil: é só pegar \(U\) como sendo um fechado qualquer em \(\mathbb{R}^n\) e \(f\) sendo a identidade.


EDIT2: Desconsidera isso tudo porque também não tinha visto que \(U\) é aberto.
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5 weeks ago by
Então cara, o conjunto \(U\subset\mathbb{R}^n\) tem que ser aberto.
Nossa, estou errando tudo hoje, kkk. Não funciono de manhã nas férias. Aí sim creio que seja verdade. Vou tentar escrever
written 5 weeks ago by Henrique Lecco  
huahauhauh normal... Como seria verdade?
written 5 weeks ago by Dione Lara  
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